解三角形中的最值问题2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

解三角形中的最值问题 1余弦定理 (1) 内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. （2） 变形 2 正弦定理 内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 (其中是三角形外接圆半径) 变形 化边为角 ③ 化角为边 3 面积公式 【题型1】 线段最值问题 【典题1】 如图，在平面四边形中，的平分线与交于点，且． (1)求及；(2)若，求四边形周长的最大值． 【典题2】如图，已知射线两边夹角为，点A在上，． (1)求线段的长度；(2)若，求的最大值． 【巩固练习】 1. (★★) 现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为( ) A. B. C. D. 2. (★★)在中，点在边上，. 当取得最小值时， . 3. (★★) 在中，角的对边分别为. (1)若，求角的大小； (2)若 边上的高等于 ，求的最大值. 4. (★★★)记 的内角的对边分别为，已知. (1)若，求；(2)求的取值范围. 5. (★★★★)已知在中，，点在边上，且． (1)若，求．(2)求的取值范围． 【题型2】 角度最值问题 【典题1】 在锐角中，角所对的边分别为，已知. (1)求角；(2)求的取值范围. 【巩固练习】 1. (★★★) 在锐角中，角的对边分别为，若，则 ，的取值范围为 . 2. (★★★)已知的内角的对边分别为 为钝角. 若的面积为，且. (1)证明: ； (2)求的最大值. 3. (★★★)在中，角所对应的边分别为，且满足 . (1)求的值； (2)若 于 ，且，求角的最大值. 4. (★★★★) 如图， 摄影爱好者在某公园处， 发现正前方处有一立柱， 测得立柱顶端的仰角和立柱底 的俯角均为 ， 已知 的身高约为米(将眼睛距地面的距离按米处理). (1)求摄影者到立柱的水平距离立柱的高度; (2)立柱的顶端有一长为 2 米的彩杆， 且绕其中点在与立柱所在的平面内旋转. 在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆 的视角 (设为)是否存在最大值? 若存在，请求出 取最大值时的值; 若不存在， 请说明理由. 【题型3】 面积最值问题 【典题1】如图，在平面四边形中，，设． (1)若，求的值； (2)用表示四边形的面积，并求的最大值． 【巩固练习】 1. (★★) 如图，在平面四边形中，，，的面积为． (1)求的长； (2)若，，当的面积最大时，求的长． 2. (★★★)△ABC的外接圆半径，角的对边分别是，且 (1)求角和边长； (2)求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状． 3. (★★★) 如图，在中， 外一点，，记 . (1)求的值； (2)若的面积为的面积为，求的最大值. 4. (★★★★) 如图，在四边形中，，，，． (1)若，求； (2)记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值． 1. (★★★)在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. (★★★)在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列 4 个结论中正确的有( ) 个. (1) ；(2) 的取值范围为； (3) 的取值范围为；(4) 的最小值为. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3. (★★)在中，角 分别对应边，已知函数 ，若 存在最大值，则正数的取值范围是 . 4. (★★)在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的大小；(2)若，求面积的最大值． 5. (★★)在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小；(2)若，求的最大值． 6. (★★★)设 三个内角所对的变分别为. 已知. (1)求角的大小； (2)如图，在的一个外角 内取一点，使得，过点 分别作直线的垂线，垂足分别为. 设，求的最大值及此时的取值. 7. (★★★)如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，为正三角形，设. (1)求的取值范围； (2)当 变化时，求四边形面积的最大值. 8. (★★★★)在锐角中，的对应边分别是，且. (1)求的取值范围；(2)求的取值范围. 9. (★★★★)在平面四边形中 ，如图所示. (1)若，求线段长度的最大值； (2)若，求四边形面积的最大值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！