6.4.3(2) 正弦定理与余弦定理的实际应用 2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

正弦定理与余弦定理的实际应用 1 解三角形 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,,叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理 (1) 内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. （2） 变形 3 正弦定理 内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 (其中是三角形外接圆半径) 变形 化边为角 ③ 化角为边 4 面积公式 【题型1】 距离问题 【典题1】 (多选)如图，甲船从出发以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，下面正确的是(　　) A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/小时 C．甲乙两船相遇时，甲行驶了小时 D．甲乙两船不可能相遇 【典题2】某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，，在处安装路灯，且路灯的照明张角．已知． (1)当重合时，求路灯在路面的照明宽度； (2)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值． 【巩固练习】 1.(★) 为测量两地之间的距离，甲同学选定了与 不共线的 处，构成 ，以下是测量数据的不同方案: (1)测量； (2)测量； (3)测量； (4) 测量. 其中要求能唯一确定 从地之间距离，则中甲同学应选择的方案的序号为( ) A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (2)(4) 2.(★) 滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们的地面上的点三点共线)测得楼顶，滕王阁顶部的仰角分别为，在楼顶处测得阁顶部的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为(　　)(精确到) A． B． C． D． 3.(★★)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点，测得 ，则两点的距离为(　　) A． B． C． D． 4.(★★)如图，到达某旅游景区内的处后，有两种路径到处：一种是从处沿直线步行到处；另一种是先从处坐小火车沿直线到达处，再从处沿直线步行到处．现有甲、乙两名游客到达处后，甲沿方向匀速步行前往处，速度为米/分钟，甲出发分钟后，乙从处坐小火车前往处，再从处步行到处．已知小火车的速度为米/分钟，之间的距离为米，之间的距离为米，．当乙在小火车上时，甲、乙之间的直线距离最短为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 5.(★★★)小明同学想要测得学校教学楼的高度，他在地面上共线的三点处测得教学楼的仰角分别为，且，则学校教学楼的高度为(　　)． A． B． C． D．6 6.(★★★)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上，已知． (1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到) (2)求景点与景点之间的距离．(结果精确到) 7.(★★★)某亲子公园拟建议广告牌，将边长为米的正方形和边长为1米的正方形点处焊接，均用加强钢管支撑，其中支撑钢管垂直于地面于点和点，且长度相等．(不计焊接点大小) (1)若时，求焊接点离地面距离； (2)若记，求加强钢管最长为多少？ 【题型2】 角度问题 【典题1】 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置. 如图 1 所示，十字测天仪由杆 横档 构成，并且是 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动. 十字测天仪的使用方法如下: 如图 2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从 点观察. 滑动横档 使得在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点的影子恰好是 . 然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角 (称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置. 图1 图2 (1)在某次测量中，，横档的长度为20 ，求太阳高度角的正弦值. (2)在杆 上有两点满足. 当横档 的中点 位于 时，记太