6.4.3 正弦定理与余弦定理的综合运用 -2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

正弦定理与余弦定理的综合运用 1正弦定理 ① 正弦定理 (其中是三角形外接圆半径) ② 变形 化边为角 化角为边 ③ 正弦定理的“齐次角边互换”理由 有角有边的等式 化为 只含边的等式 （*） 等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！ 同理. 思考以下转化是否正确 (1) (错)， (2) (对) ④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. ⑤ 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 Eg 求满足的三角形△ABC个数. 方法1 利用正弦定理求解 由正弦定理可得：，则， ，且为锐角，有一解，故三角形只有一解； 方法2 图像法 先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！ 2 面积公式 3 余弦定理 ① 余弦定理 ② 变形 ③ 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. ④ 三角形类型的判断 · ； · ； · . ⑤ 射影定理 【题型1】 正弦定理解三角形 【典题1】 在中，已知，则角为　　 A． B．或 C．或 D． 【典题2】已知的三个内角的对边分别为，且满足，则等于(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★) 以下关于正弦定理或其变形错误的有(　　) A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则，若，则都成立 D．在中， 2. (★★)在锐角中，，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3. (★) 在中，内角所对边分别为，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 4. (★) 中，若，则等于 . 5. (★★) 的内角的对边分别为，已知，则的面积为　　． 6. (★★★)在平面四边形中，，则的取值范围是　 　． 【题型2】 余弦定理解三角形 【典题1】 在中，若，则的周长等于 . 【典题2】在平行四边形中，对角线与交于点，且，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★) 在中，，则(　　) A． B． C． D． 2. (★★)在钝角三角形中，，则边的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3. (★)已知中，角的对边分别为．若，则　　． 4. (★) 的内角的对边分别为，已知，则 ． 5. (★★)设的内角的对边分别为．若，则　　． 6. (★★)在钝角三角形中，，且是最大角，则的取值范围是____． 7. (★★★)在中，，，的对边分别为,,.若，当角最大时，则 ____． 【题型3】 判定三角形的个数 【典题1】（多选）已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)(多选)在△ABC中，角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为(　　) A． B． C． D． 2. (★★)在中，角的对边分别是，若，且三角形有两解，则角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【题型4】 解单个三角形问题 【典题1】 在中，内角所对的边分别为，已知，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【巩固练习】 1. (★★) 在中，角所对的边分别为，满足． (1)求；(2)若，求的面积． 2. (★★★) 在中，角的对边分别为. (1)若，求角的大小； (2)若 边上的高等于 ，求的最大值. 3. (★★★)已知的内角的对边分别为 为钝角. 若的面积为，且. (1)证明: ；(2)求的最大值. 【题型5】解多个三角形问题 【典题1】 如图，在中， 为 内点，且，则 . 【典题2】已知的内角的对边分别为 为锐角，的面积为. (1)判断 的形状，并说明理由； (2)如图，若 为 内一点，且，求的长. 【巩固练习