2.4二次函数的应用(第一课时)课件2023-2024学年北师大版九年级数学下册

初中数学九年级下 2.4二次函数的应用(第一课时) 学 习 目 标 1.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系; 2.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值; 3.能够运用二次函数的知识解决实际问题的最值,增强解决问题的能力. 当a>0时,观察y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 当a<0时,观察y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 顶点 对称轴 顶点 对称轴 y x O y x O 复 习 回 顾: 请你用长 20 米的篱笆设计一个矩形的菜园,怎样设计才能使矩形菜园ABCD的面积最大? 解:设AB= x 米 ,面积为 y 平方米, 则CD=AB=x,AC=BD=10-x ∴y=x(10-x) =﹣x2+10x 情 境 引 入: A D C B ∵x对 = ∴当x=5时,ymax=25 此时AC=BD=10-5=5(米). 因此当矩形的长和宽均为 5 米时,矩形的面积最大. 顶点坐标公式 还有其他做法吗? 4 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 请你用长 20 米的篱笆设计一个矩形的菜园,怎样设计才能使矩形菜园ABCD的面积最大? 解:设AB= x 米 ,面积为 y 平方米, 则CD=AB=x,AC=BD=10-x ∴y=x(10-x) =﹣x2+10x =﹣(x-5)2 +25. 情 境 引 入: A D C B ∴当x=5时,ymax=25 此时AC=BD=10-5=5(米). 因此当矩形的长和宽均为 5 米时,矩形的面积最大. 顶点式 5 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如图1,开发商要在一块直角三角形空地上建造一个面积最大的矩形花圃, 三角形的底边长40米,高30米.如何设计才能使矩形ABCD的面积最大? 30 m M 40 m A B C D N 图1 探 究 新 知: 思考以下三个问题: 1.要求面积ym2的关系式,我们应该先表示出哪两个量? 2.若设AB=xm,怎样用含有x的式子表示线段AD?你能从相似三角形中找到答案吗? 3.列出关系式后,你有几种方法计算矩形ym2的最值? 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如图1,开发商要在一块直角三角形空地上建造一个面积最大的矩形花圃, 三角形的底边长40米,高30米.如何设计才能使矩形ABCD的面积最大? 30 m M 40 m A B C D N 图1 探 究 新 知: 解:设AB= x 米 ,面积为 y 平方米,则CD=AB=x ∵DC∥AN ∴ MDC∽ MAN ∴ 即 ∴ ∴ ∵ ∴当x=20时,ymax=300 利用相似表示AD的长度 思考: 1.你还能用其他方法表示线段AD吗? 2.如果设AD=xm,请尝试独立书写步骤. 提示:1.可以借助tanN来表示AD 2.若AD=x,则AB= 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解:过点P作PH⊥MN,交AD于点G,设AD=x m ,面积为ym2 ∵MP=30m,NP=40m,∴由勾股定理得MN=50 m ∵NP MP=MN PH,∴PH=24m ∵AD∥MN,∴ PAD∽ PNM ∴ ,即 ∴,∴GH= ∴y= ∴当 x=25 m 时,面积最大为300 m2. 如果把矩形改为如图 2 所示的位置,其顶点 A 和顶点 D 分别在两直角边上,BC在斜边上.其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少? 例 题 讲 解 : N A B C D M P 40 m 30 m 图2 H G 8 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,广告牌的设计费为每平方1000元,请你设计一个广告牌边长的方案,使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽获得的设计费最多,设计费最多为多少元? 解:设矩形一边长为xm,面积为S m2, 则另一边长为 m, 则其面积. ∵0<2x<12, ∴0<x<6. ∵ ∴a=﹣1<0,S 有最大值, 当x=3时,S最大值=9. ∴设计费最多为9 1000=9000(元) 跟 踪 练 习: 2.某建筑物的窗户如图,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m,当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01 m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01 m2) x x y 解:∵7x+4y+ x=15, ∴0<x<1.48. 跟 踪 练 习: 设窗户的面积是S m2, 则 因此,当x约为1.07m时,窗户通过的光线最多.此时,窗户的面积约为4.02 m2. x x y 实际情景 提出最值问题 建立二次函数关系式 求出最值 可用结果 判断是否