单元提分专题4 正方形的折叠问题－2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷（苏科版）

专题4 正方形的折叠问题 1．小明同学将大家都经历过的一个折纸活动表述成如下的一道数学探究题：题目：如图，已知点是正方形纸片的边上的一个定点，点是边上的一个动点，沿着折叠，点落在点处；点是边上的一个动点，沿着折叠，点落在点处． 探究1．如图1，当点落在线段上时，两折痕的夹角__________； 探究2．如图2，当点落在折痕上，且落在折痕上时，两折痕的夹角__________； 探究3．在动点、的运动过程中，设，若． ①试用含的代数式表示的度数． ②探究能否平分，若能，求出此时的度数；若不能，请说明理由． 2．正方形中，，，点H为射线上的一个动点，连接，把沿着翻折，得到． (1)如图1，连接，当时，的形状是 ． (2)当点G落在正方形内部时，过G作，分别交、于E和F，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由． (3)如图3，已知正方形的边长为6，点H在射线上运动，当时，把沿翻折得到，射线交射线于点M，请直接写出的长． 3．如图，正方形中，，点E在边上，且 ．将 沿对折至，延长 交边于点 G，连接、． (1)证明：； (2)求 的长； (3)求△FGC的面积． 4．四边形是正方形，点G、H分别是和上的动点，将四边形沿翻折，点B和点C的对称点分别是E和F． (1)如图1，若点E在上，求证：； (2)若点E恰好是的中点． ①如图2，当正方形的边长为4时，求的长； ②如图3，若交于点P，连接，判断之间的数量关系，并说明理由． 5．“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接． (1)_______°； 转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接． (2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为6，，求的长． 6．综合与实践 （1）【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，求的正切值； （2）【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，点恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，请求出线段的长． 7．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作； (1)如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，将沿进行翻折到，当Q点折叠到上时，求和的长． (2)如图2，当矩形变成正方形，且正方形的边长为，在P点移动的过程中，当时，求的长． (3)当矩形变成正方形，且正方形的边长为10，请在备用图中探究并直接写出当为等腰三角形时线段AP的长． 8．（1）问题解决：如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，设、交于H．请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）拓展探究：如图2，若将边长为4的正方形折叠，使得点A落在的中点E处，折痕为，点G在边上，点F在边上，连接、，求折痕的长． 9．已知：正方形纸片，将纸片折叠，使点落在处，折痕经过点交于点．    (1)如图①，当延长线交于时，易证：； (2)如图②，当延长线交延长线于时，如图③，当折痕的延长线交延长线于，延长线交延长线于时，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 10．如图，在正方形中，点，分别是，上的点．    (1)如图①，与交于点，连接，点为的中点，连接，，若，则与的数量关系为__________； (2)如图②，点，分别为，上的点，若，试判断与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图③，点为上的点，连接，将正方形沿折叠，使得点落在边的中点处，点的对应点为，若正方形的边长为6，请直接写出折痕的长． 11．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点．    (1)如图①，当平分时，的度数为______； (2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标； (3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由． 12．综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，