单元提分专题3 矩形的折叠问题－2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷（苏科版）

专题3 矩形的折叠问题 1．如图，将长方形纸片进行折叠，使折痕的两个端点P、F分别在边上，顶点B落在边的E点处．已知． (1)试求出的长度； (2)请求的面积． 2．已知，将沿对角线折得到． (1)如图1，当点E落在线段延长线上时，求证：； (2)如图2，当为锐角时，连接与线段相交于点F，试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，连接，当为等腰三角形时，求的长． 3．在长方形中，，，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在边上时，请你直接写出的长为_______． (2)如图2，点E是边上一动点，过点E作交边于点F，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，点M是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点A的对称点为，当，M，C三点在同一直线上时，请直接写出的长． 4．（1）操作发现： 如下图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G．猜想线段与的数量关系是______． （2）探究尝试： 如下图，（1）中的矩形改为正方形，边长，其它条件不变，求线段的长．    （3）类比拓展： 如下图，将（1）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．    5．如图，在长方形中，已知，点P是上的一个动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，射线交线段或线段交于点E． (1)如图①，四边形是正方形，点E在线段上，且点E是的中点，求的长； (2)如图②，当时，射线恰好经过点D，求的长； 6．综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用长方形纸片进行折叠研究数学问题：如图1，点P是长方形的边上一动点，连接，将沿着折叠得到． 初步探究： （1）如图1，当点P与点A重合时，与交于点E，求证：； 深入探究： （2）如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接，求证：； 拓展延伸： （3）在问题（2）中，若，，的面积为，直接写出长方形的面积． 7．如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求的长； (3)如图③，直线分别交的边，于点E，F，将沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，则五边形的周长为______． 8．如图，点为矩形的边上一点，连接，将沿所在的直线翻折得到，射线交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 9．如图，在矩形中，动点P从点A出发，沿边向点C运动，点A、D关于直线的对称点分别为点E、F，连接EF．已知．． (1)当点P在边上，且时，求的度数； (2)当点F在的延长线上时，求的长，并判断直线与直线之间的位置关系，并说明理由； (3)当直线恰好经过点C时，求的长． 10．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．           图1                         图2 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】请直接写出线段的数量关系______． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 11．在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．    (1)求证：； (2)当点是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 12．【问题探究】 （1）如图①，在矩形中，，，点为边上一点，且，连接，过点作DF//BE交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）小丽和小勇在玩折纸片游戏，如图②，有一块矩形纸片，小丽将该纸片沿（点、分别在边、上）所在直线折叠后，点恰好与点重合，点落在点处，并测得，，的角平分线交于点，小勇根据小丽的折纸过程和测量结果，计算出了的长度，你知道小勇是怎么计算的吗？请你写出正确的计算过程． 13．矩形中，E是边上的一个动点，连接，将四边形沿直线折叠后，使点A落在F处，点B落在G处． (1)如图1，连接．求证：; (2)如图2，连接，若，当的面积最小时，求的长； (3)如图3，四边形是正方形，，当是直角三角形时，请你直接写出的长． 14．综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线． (1