6.2.4向量的数量积（2）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积(2) 第六章平面向量及其应用 向量数量积的运算律 新知探究 问题1 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ ① ③ ② 实数 猜 想 向量数量积 ① ③ ② 正确吗？ 新知探究 m n 与 不一定是共线 × 追问 三个向量不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘呢？ ∴ 向量数量积不满足结合律 . 新知探究 新知探究 概念生成 向量数量积的运算律： 已知向量 和实数 ，则向量的数量积满足： （交换律） （对数乘的结合律） （分配律） 知识梳理 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝____________ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝__________________________ 2. a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 例3 典例解析 1.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 例2 练习 例2 2.已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a. ①求向量a与b的夹角； 解　①因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a， 所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 例2 2.已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a. ②求|3a＋b|. 利用a2＝|a|2 3. 3. 求向量模，一般利用|a|2=a · a 进行转化，从而方便进行向量间的代数运算 2 2 几何法 15 4. 所以(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－， |2e1＋e2|＝＝＝， |－3e1＋2e2|＝ ＝＝， 设向量a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为α， 则cos α＝＝－， 又0°≤α≤180°，∴α＝120°. 解析　由已知，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos〈e1，e2〉＝， 所以〈a，b〉＝. 即1＋1×2×cos〈a·b〉＝0，即cos〈a·b〉＝－， ＝＝. 解　|3a＋b|＝＝ ∵(a－b)⊥a， ∴(a－b)·a＝|a|2－a·b＝0， ∴a·b＝|a|2＝2， ∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2×2＋4＝10， ∴|a＋b|＝. 答案　D 【例2】　若向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于(　　) A.3 B.2 C.10 D. 解析 $$