6.2.4向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 第六章平面向量及其应用 情境：在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功__________________________. 前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ (其中与的夹角) 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？ 受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 新知探究 向量的夹角 已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作 则∠AOB＝θ ( ) 叫做向量 的夹角． O A B θ 记作: < > 0≤θ≤π 显然，当θ=0时， 同向. 当 时， 垂直，记作 . 当θ=π时， 反向. 注意：计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起. 概念生成 50° A B C 45° 85° 1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角： (1) 45° 130° 85° 45° 130° 85° (2) (3) 跟踪练习 √ 跟踪训练1 探索新知 有了向量夹角的定义之后，我们就能模仿功的定义，给出向量“数量积”的定义了，你能尝试描述一下吗？ ？ = 向量的数量积 已知两个非零向量 ，它们的夹角为θ，把数量 做向量 的数量积(或内积)，记作 ，即 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. O A B θ 概念生成 ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ②数量积a·b的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 探索新知 两非零向量a与b数量积的符号由什么决定？ 在定义式中，因为，均为正值，所以的符号仅由的正负决定，而的正负又由的大小决定，所以我们可以得到如下的结论： 当＝0°时， cos ＝1， ； 当为锐角时， ； 当为直角时， ； 当为钝角时， ； 当＝180°时， cos ＝－1， 例题：(1)已知，，与的夹角，求. (2)设，，求与的夹角. (3)已知，求. 解：(1) (2)由，得 因为，所以 (3) 所以 求数量积 求夹角 求模长 典例精析 4、已知正的边长为1，求： (1) (2) (3) 解：(1)∵与的夹角为60°，∴ (2)∵与的夹角为120°，∴ (3)∵与的夹角为60°，∴ 投影与投影向量： 如图，设和是两个非零向量， ， ， 我们考虑如下的变换： 过的起点和终点，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为，得到， 我们称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量 二、新知探究 探究3 投影向量 A B 三、课堂练习 过点A作直线OB的垂线，垂足为M1 , 则叫做向量在向量上的投影向量 同向 反向 O θ M1 O θ M1 探究3 投影向量 二、新知探究 问题4： 设与方向相同的单位向量为， 与的夹角为，那么与, ,之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是 同向 O θ M1 反向 O θ M1 探究3 投影向量 (1)当为锐角时， (2)当为钝角时， == == 二、新知探究 （4）当为直角时， （3）当时， （5）当时， O M1 O θ O θ 显然，与共线，于是 ， 所以 ， 所以 ， 所以 对于任意的 例2.在已知，为单位向量,当向量，的夹角等于时 (1)求向量在向量上的投影；(2)求向量在向量上的投影向量 解：由定义可得，向量在向量上的投影为 （1）向量在向量上的投影： 求投影的两种方法： （在上的投影） ① ② （2）向量在向量上的投影向量： √ 跟踪训练3 解析　设a与b的夹角为θ， 因为非零向量a，b满足2|a|＝|b|，且(3a＋b)⊥(a－2b)， 所以(3a＋b)·(a－2b)＝0， 即3a2－5a·b－2b2＝0， 所以3a2－5|a|·(2|a|)cos θ－2×4|a|2＝0， 练6.已知，，则在方向上的投影向量是？ 解：向量在向量上的投影