铺路帮手-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（北师大版 河南专版）

第一周　 幂的运算(1. 1-1. 3) 测试时间:40 分钟　 测试分数:75 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列式子正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a6 ÷a2 =a3 B. (a4) 3 =a7 C. -a·a3 = -a4 D. (ab3) 2 =ab6 2. (北京期末)随着北斗系统全球组网的步 伐,北斗芯片的研发生产技术也在逐步成 熟,国产北斗芯片可支持接收多系统的导航 信号,应用于自动驾驶、无人机、机器人等高 精度定位需求领域,将为中国北斗导航产业 发展提供有力支持. 目前,该芯片工艺已达 22 纳米 ( 即 0. 000 000 022 米). 则数据 0. 000 000 022 用科学记数法表示为(　 　 ) A. 0. 22×10-7 B. 2. 2×10-8 C. 22×10-9 D. 22×10-10 3. [易错题] (x-2 023) -2 + (x+2 023) 0 有意 义,则 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≠2 023 　 　 　 B. x≠-2 023 C. x≠2 023 且 x≠-2 023　 　 　 D. 任何数 4. 已知 3m = 5,3n = 2,则 3m+n = (　 　 ) A. 7 B. 10 C. 25 D. 32 5. (南京期末)若 9m = 27n,则 m,n 满足的关系 是(　 　 ) A. m= 3n B. n= 3m C. 3m= 2n D. 2m= 3n 6. 已知一个水分子的直径约为 4×10-10 米,某 花粉的直径约为 5×10-4 米,用科学记数法 表示这种花粉的直径是一个水分子直径 的(　 　 ) A. 8×10-7 倍 B. 1. 25×107 倍 C. 8×10-6 倍 D. 1. 25×106 倍 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 若(a2) 3 =am÷a,则 m= 　 　 　 　 . 8. 若 3x = 20,3y = 5,则 3x-y = 　 　 　 　 . 9. 人体红细胞的直径约为 0. 000 007 7 m,则 0. 000 007 7 用科学记数法表示为　 　 　 　 . 10. [注重阅读理解]对于有理数 a,b,约定 a ∗b = ab(a>b,a≠0) a-b(a≤b,a≠0){ ,如定义 2∗3 = 2 -3 = 1 8 ,3∗2 = 32 = 9,照此定义运算方式计 算:3∗0+2∗4 = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 45 分) 11. (9 分)计算: (1)a3·a·a4 +( -2a4) 2 +(a2) 4; (2)(p-q) 4 ÷(q-p) 3·(p-q) 2; (3)4×( -2) -2 -32 ÷(3. 14-π) 0 . 12. ( 8 分) 下图是东东同学完成的一道作 业题. 东东的作业 计算:45 ×(-0. 25) 5 . 解:原式=(-4×0. 25) 5 =(-1) 5 = -1. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 1 页 请你参考东东的方法解答下列问题. 计算:(1)82 023 ×( -0. 125) 2 023; (2)(12 5 ) 11 ×( 5 6 ) 13 ×( 1 2 ) 12 . 13. (9 分)观察下列等式: ①21 +21 = 2×21 = 22; ②22 +22 = 2×22 = 23; ③23 +23 = 2×23 = 24; …… (1)请写出第④个等式:　 　 　 　 ; (2)根据你发现的规律,用含字母 n 的式 子表示第 n 个等式:　 　 　 　 ; (3)请利用上述规律计算:21 + 21 + 22 + 23 + …+2100 . 14. [教材 P4 第 5 题变式](9 分)当你把纸对 折一次时,就得到 2 层,当对折两次时,就 得到 4 层,照这样折下去(最多折 7 次). (1)你能发现层数和折纸的次数有什么关 系吗? (2)计算当你对折 6 次时,层数是多少; (3)如果纸的厚度是 0. 1 mm,求对折 7 次 时,总厚度是多少. 15. (10 分)阅读材料,解决问题. 材料一:比较 322 和 411 的大小. 解:因为 411 = (22) 11 = 222,而 3>2,所以 322 >222,即 322 >411 . 小结:在指数相同的情况下,可通过比较底 数的大小,来确定两个幂的大小. 材料二:比较 28 和 82 的大小. 解:因为 82 = (23) 2 = 26,而 8> 6,所以 28 > 26,即 28 >82 . 小结:在底数相同的情况下,可以通过比较 指数的大小,来确定两个幂的大小. (1)比较 344,433,522 的大小; (2)比较 8131,2741,961 的大小. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 2 页 第二周　 整式的乘法(1. 4-1. 6) 测试时间:50 分钟　 测试分数:80 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 计算 2a2·( -3a)的结果是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6a3 B. -6a3 C. 6a D. -6a 2. 已知 a(a-2) = 8,则代数式 a2 -2a-6 的值 为(　 　 ) A. 8 B. 14 C. -2 D. 2 3. 下列各式不能使用平方差公式的是(　 　 ) A. (2a+3b)(2a-3b) B. ( -2a+3b)(3b-2a) C. ( -2a+3b)( -2a-3b) D. (2a-3b)( -2a-3b) 4. 若 x+m 与 x+3 的乘积中不含 x 的一次项, 则 m 的值为(　 　 ) A. -3 B. 3 C. 0 D. 1 5. 若 1 4 x2 -(a-1)x+9 是一个完全平方式,则 a 的值是(　 　 ) A. -4 B. 2 C. 4 或-2 D. 2 或-4 6. 小羽制作了如图所示的卡片 A 类,B 类,C 类各 50 张,其中 A,B 两类卡片都是正方 形,C 类卡片是长方形,现要拼一个长为(5a +7b),宽为(7a+b)的大长方形,那么所准备 的 C 类卡片的张数(　 　 ) A. 够用,剩余 4 张 B. 够用,剩余 5 张 C. 不够用,还缺 4 张 D. 不够用,还缺 5 张 7. (青岛期中)如图,将两个 边长为 b 的小正方形放到 边长为 a 的大正方形内, 若长方形 ABCD 的面积为 80,两个小正方形重叠的部分面积为 48,则 a2 +b2 的值为(　 　 ) A. 130 　 　 　 B. 164 C. 156 　 　 　 D. 128 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 计算:2 024×2 022-2 0232 = 　 　 　 　 . 9. 已知:(x-5) (x+m) = x2 +2x-35,其中 m 代 表一个常数,则 m 的值为　 　 　 　 . 10. 已知 ab=a+b+2 023,则(a-1) (b-1)的值 为　 　 　 　 . 11. [教材 P17 第 2 题变 式]如图,在长为 3a+ 2,宽为 2b - 1 的长方 形铁片上,挖去长为 2a+4,宽为 b 的小长 方形铁片,则剩余部分面积为　 　 　 　 . 三、解答题(共 47 分) 12. (9 分)计算: (1)a(a+1) -(a-3)(3+a); (2)(x-y+z)( -x-y-z); (3)x(x+1) 2 -x(x+x2) -x+2. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 3 页 13. (8 分)先化简,再求值:3a(2a2 -4a+3) -2 a2(3a+4),其中 a= -2. 14. (10 分)下面是小李同学数学计算本上一 道题的解答过程. 请认真阅读并完成相应 任务. (x-2y) 2 -x(x-2y+1) = x2 -4xy+4y2 -x(x-2y+1)…第一步 = x2 -4xy+4y2 -x2 +2xy…第二步 = 4y2 -2xy…第三步. 任务一:第一步的计算过程中用到的乘法 公式是　 　 　 　 ; 任务二:第　 　 　 　 步开始出现错误,这一 步错误的原因是　 　 　 　 ; 任务三:请直接写出该题的正确运算结果 　 　 　 　 ; 任务四:除纠正上述错误外,请你根据平时 的学习经验,就整式乘法运算时还需要注 意的事项给其他同学提一条建议. 15. [教材 P27 习题 2 题变式](10 分)广场内 有一块边长为 4a m 的正方形花园,统一规 划后,南北方向要缩短 2 m,东西方向要加 长 2 m,改造后的长方形花园的面积与原 来的面积相比,是增加了还是减少了? 增 加或减少了多少 m2? 16. (10 分)我国南宋时期杰出的数学家杨辉 是钱塘人,如图是他在《详解九章算术》中 记载的“杨辉三角”. 此图揭示了(a+b) n(n 为非负整数)的展开式的项数及各项系数 的有关规律. (1)写出(a+b) 4 的展开式,并利用整式的 乘法验证你的结论; (2)(a+b) 9 的展开式中共有　 　 　 　 项, 所有项的系数和为　 　 　 　 ; (3)利用上面的规律计算:25 -5×24 +10×23 -10×22 +5×2-1. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 4 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 1 平方差公式的证明 ———教材 P21 素材变式 变式角度 1　 拼成长方形—证明平方差公式 1. [注重阅读理解](1)【知识生成】我们已经 知道,通过计算几何图形的面积可以表示一 些代数恒等式,例如:从边长为 a 的正方形 中剪掉一个边长为 b 的正方形如图 1,然后 将剩余部分拼成一个长方形如图 2. 图 1 中阴影部分面积为　 　 　 　 ,图 2 中阴 影部分面积为　 　 　 　 ,请写出这个乘法公 式　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)【知识应用】应用(1)中的公式,完成下 面任务: 若 m 是不为 0 的有理数,已知 P= (m2 +2m+ 1)(m2 -2m+1),Q= (m2 +m+1)(m2 -m+1), 比较 P、Q 大小. 图 1 　 　 图 2 变式角度 2　 拼成梯形—证明平方差公式 2. 在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b (a>b)的小正方形. (1)小刚沿图 1 中的虚线将阴影部分剪开拼 成梯形(图 2),此梯形的高是　 　 　 　 . (2)小刚的做法验证了一个重要的乘法公式, 你知道是哪一个公式吗? 请你按照小刚的做 法,分别计算拼接前后两个图形阴影部分的面 积以证明这个乘法公式. 针对训练 3. 如图,将大正方形通过剪、割、拼后分解成新 的图形,利用等面积法可证明某些乘法公 式,在给出的 4 幅拼法中,其中能够验证平 方差公式的有(　 　 ) ① 　 　 ② ③ 　 　 ④ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ③④ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 5 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 2 完全平方公式的证明 ———教材 P23 想一想变式 变式角度 1　 两数和的完全平方公式的证明 1. 有一张边长为 a 厘米的正方形桌面,因为实 际需要,需将正方形边长增加 b 厘米,木工 师傅设计了如图所示的三种方案: 小明 发 现 这 三 种 方 案 都 能 验 证 公 式: (a+b) 2 =a2 +2ab+b2,对于方案一,小明是这 样验证的: (a+b) 2 =a2 +ab+ab+b2 =a2 +2ab+b2 . 请你根据方案二、方案三,写出公式的验证 过程. 方案一 　 方案二 　 方案三 变式角度 2　 两数差的完全平方公式的证明 2. 如图所示,将如图一所示的大小相同的四个 小正方形按图二所示的方式放置在一个边 长为 a 的大正方形中,中间恰好空出两条互 相垂直的宽都为 b 的长方形,根据图二中阴 影部分的面积计算方法可以验证的公式为 　 　 　 　 ,并写出验证过程. 图一 　 图二 变式角度 3　 两数和的平方与两数差的平方 的关系 3. 如图,这是由 8 个完全一样的直角边长分别 为 a,b,斜边长为 c 的三角形拼成图形. (1)在图中,正方形 ABCD 的面积可表示为 　 　 　 　 ,正方形 PQMN 的面积可表示为 　 　 　 　 . (用含 a,b 的式子表示) (2)请结合图形用面积法说明(a+b) 2,ab, (a-b) 2 三者之间的等量关系. (3)已知 a+b = 5,ab = 4,求正方形 EFGH 的 面积. 针对训练 4. 对于一个图形,通过两种不同的方法计算它 的面积,可以得到一个数学等式,例如利用 图 1 可以得到(a+b) 2 = a2 +2ab+b2,那么利 用图 2 所得到的数学等式是(　 　 ) 　 图 1 　 　 　 　 图 2 A. (a+b+c) 2 =a2 +b2 +c2 B. (a+b+c) 2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc C. (a+b+c) 2 =a2 +b2 +c2 +ab+ac+bc D. (a+b+c) 2 = 2a+2b+2c 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 6 页 第三周　 整式的除法(1. 7) 测试时间:25 分钟　 测试分数:45 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 如果□×3ab = -27a2 b3,则□内应填的代数 式是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 9ab2 B. -9a2b C. -9ab2 D. 9a2b 2. (青岛期中)长方形的面积为 4a2 -6ab+2a,若 它的一边长为 2a,则它的另一边长为(　 　 ) A. 2a-3b+1 B. 4a2 -6ab C. 4a-3b+1 D. 2a-3b 3. 小明在做作业的时候,不小心把墨水滴到了 作业本上,■×3ab = 6ab-3ab3,阴影部分即 为被墨汁弄污的部分,那么被墨汁遮住的一 项是(　 　 ) A. 2-b2 B. 2+2b C. 3ab+2b2 D. 2ab+b2 4. 已知多项式(17x2 -3x+4) -(ax2 +bx+c)能被 5x 整除,且商为 2x+1,则 a-b+c= (　 　 ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 19 5. 已知 8 a3 bm ÷ 28 an b2 = 2 7 a b2, m, n 的值 为(　 　 ) A. m= 4,n= 2 B. m= 4,n= 1 C. m= 1,n= 2 D. m= 2,n= 4 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 6. [教材 P30 第 4 题变式]火星的体积约为 1. 35×1020 立方米,地球的体积约为 1. 08× 1021 立方米, 地球体积约是火星体积的 　 　 　 　 倍. 7. [新定义]定义新运算符号⊕:m⊕n = m2n+ n,求(2x⊕y) ÷y= 　 　 　 　 . 8. 已知,A 是一个多项式,小明在计算 A+ 3x2 时,错将“ +”抄成了“ ÷”,运算结果得 x2 -3x -1, 那么, 原来算式 A + 3 x2 的计算结果 应为　 　 　 　 . 三、解答题(共 21 分) 9. (10 分)(兰州期中)阅读下面这位同学的 计算过程,并完成任务. 先化 简, 再 求 值: [( 2x + y ) ( 2x - y ) - (2x-3y) 2] ÷( -2y),其中 x= 1,y= -2. 解:原式 = ( 4 x2 - y2 - 4 x2 - 12xy + 9 y2 ) ÷ ( -2y),第一步 = ( -12xy+8y2) ÷( -2y),第二步 = 6x-4y,第三步 当 x= 1,y= -2 时,原式= 14. 第四步 (1)第一步运算用到了乘法公式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (写出 1 种即可); (2)以上步骤第　 　 　 　 步出现了错误; (3)请写出正确的解答过程. 10. (11 分)[教材 P30 第 5 题变式]红光中学 新建了一栋科技楼,为了给该楼一间科技 陈列室的顶棚装修,计划用宽为 x m、长为 30x m 的塑料扣板,已知这件陈列室的长 为 5ax m、宽为 3ax m,如果你是该校的采 购人员,应该至少购买多少块这样的塑料 扣板? 当 a= 4 时,求出具体的扣板数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 7 页 第四周　 两直线的位置关系(2. 1) 测试时间:40 分钟　 测试分数:40 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 在同一平面内,两条直线的位置关系可能 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 相交或垂直 B. 垂直或平行 C. 平行或相交 D. 相交或垂直或平行 2. 如图所示,∠1 和∠2 是对顶角的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. a,b,c 为同一平面内的任意三条直线,那么 它们的交点可能有(　 　 )个. A. 1,2 或 3 B. 0,1,2 或 3 C. 1 或 2 D. 以上都不对 4. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EO⊥AB,垂 足为 O, ∠EOC = 35°, 则 ∠AOD 的 度 数 是(　 　 ) A. 55° B. 65° C. 115° D. 125° 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,已知∠AOC = 80°,∠BOE ∶ ∠EOD = 3 ∶2,则∠AOE 的度 数是(　 　 ) A. 100° B. 116° C. 120° D. 132° 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 6. 如图, 利用工具测量角, 则 ∠1 的大小 为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分 ∠AOD, 若 ∠AOE = 55°, 则 ∠BOD = 　 　 　 　 度. 三、解答题(共 19 分) 8. (9 分)(武汉期末)如图,OB 是∠AOC 的平 分线,OD 是∠COE 的平分线. (1)若∠AOB = 46°,∠DOE = 37°,求∠BOD 的度数; (2) 若∠AOD 与∠BOD 互补,且∠DOE = 24°,求∠AOC 的度数. 9. (10 分)如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OM ⊥AB. (1) 若 ∠1 = 40°, ∠2 = 30°, 求 ∠NOD 的 度数; (2)如果 ON 与 CD 互相垂直,那么∠1 = ∠2 吗? 请说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 8 页 第五周　 探索直线平行的条件(2. 2) 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 两条不相交的直线叫做平行线 B. 一条直线的平行线有且只有一条 C. 若 a∥b,a∥c,则 b∥c D. 两直线不垂直就平行 2. 如图,直线 AB、CD 被直线 EF 所截,∠1 = 55°,下列条件中能判定 AB∥CD 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ∠1 = ∠3 B. ∠1 = ∠4 C. ∠2 = 55° D. ∠2 = 125° 第 2 题图 　 　 第 4 题图 3. 同一平面内的四条直线满足 a⊥b,b⊥c,c⊥ d,则下列式子成立的是(　 　 ) A. a∥b B. b⊥d C. a⊥d D. b∥c 4. 如图,下列条件,不能判断直线 l1 ∥l2 的 是(　 　 ) A. ∠1 = ∠3 B. ∠1 = ∠4 C. ∠2+∠3 = 180° D. ∠3 = ∠5 5. 如图所示,给出了过直线外一点作已知直线 的平行线的方法依据是(　 　 ) A. 两直线平行,同位角相等 B. 同位角相等,两直线平行 C. 两直线平行,内错角相等 D. 内错角相等,两直线平行 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,下列能判定 AB∥EF 的条件有(　 　 ) ①∠B + ∠BFE = 180°; 　 ② ∠1 = ∠2; 　 ③∠3 = ∠4;　 ④∠B= ∠5. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 如图,已知 OM∥a,ON∥a,所以点 O、M、N 三点共线的理由 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,已知∠B = ∠D,要使 BE∥DF,还需补 充 一 个 条 件, 你 认 为 这 个 条 件 应 该 是　 　 　 　 　 　 　 . (填一个条件即可) 9. [新颖题]随着我国科学技术的不断发展, 科学幻想变为现实. 图 1 是我国自主研发的 某型号战斗机模型,全动型后掠翼垂尾是这 款战斗机的亮点之一,图 2 是垂尾模型的示 意图,现测量垂尾模型的外围得如下数据: ①BC = 8,②CD = 2,③∠C = 60°,④∠D = 135°,⑤∠ABC= 120°,垂尾模型要求的位置 标准之一是 AB∥CD,则选择数据　 　 　 　 可判断模型位置是否达标(只填序号). 图 1 　 图 2 10. [易错题]将一块三角板 ABC(∠BAC= 90°,∠ABC = 30°)按如图方式放置, 使 A,B 两点分别落在直线 m,n 上,对于给 出的五个条件:①∠1 = 25. 5°,∠2 = 55°30′; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 9 页 ②∠1+∠2 = 90°;③∠2 = 2∠1;④∠ACB = ∠1+∠3;⑤∠ABC = ∠2-∠1. 能判断直线 m∥n 的有　 　 　 　 . (填序号) 三、解答题(共 30 分) 11. (6 分)已知 AB⊥BC,∠1+ ∠2 = 90°,∠2 = ∠3,求证: BE∥DF. 证 明: 因 为 AB ⊥ BC, 所 以 ∠ABC = 　 　 　 　 °, 即∠3+∠4 = 　 　 　 　 °. 又因为∠1+∠2 = 90°,且∠2 = ∠3, 所以　 　 　 　 = 　 　 　 　 . 理由是: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 所以 BE∥DF. 理由是:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 12. (8 分)小明到工厂去进行社会实践活动 时,发现工人师傅生产了一种如图所示的 零件,要求 AB∥CD,∠BAE = 35°,∠AED = 90°. 小明发现工人师傅只是量出∠BAE = 35°,∠AED = 90°后,又量了∠EDC = 55°, 于是他就说 AB 与 CD 肯定是平行的,你知 道什么原因吗? 13. [跨学科试题] (8 分) (郑州期中)光线从 空气中射入水中会发生折射现象,光线从 水中射入空气中,同样会发生折射现象. 如 图是光线从空气中射入水中,再从水中射 入空气中的示意图. 已知∠1 = ∠4,∠2 = ∠3. 请你用所学知识来判断 c 与 d 是否平 行? 并说明理由. 14. (8 分)如图,∠BAF = 46°,∠ACE = 136°, CE⊥CD,则 CD∥AB,试说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 10 页 第六周　 平行线的性质及用尺规作角(2. 3-2. 4) 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 如图, AB∥CD, ∠A = 80°, 则 ∠1 的度数 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 70° B. 100° C. 110° D. 130° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图, AB∥CD, AD⊥ AC, ∠ACD = 50°, 则 ∠BAD 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 3. 如图, 已知 AD∥BC, DB 平分 ∠ADE, 若 ∠DEC= 60°,则∠B 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 第 3 题图 　 第 4 题图 4. 如图,在△ABC 中,AC>BC,∠ACB 为钝角. 按下列步骤作图: ①以点 B 为圆心,适当长为半径作圆弧,交 BC 于点 D,交 AB 于点 E;②以点 C 为圆心, BD 长为半径作圆弧,交 AC 于点 F;③以点 F 为圆心,DE 长为半径作圆弧,交②中所作 的圆弧于点 G;④作射线 CG 交 AB 于点 H. 下列说法不正确的是(　 　 ) A. ∠ACH= ∠B B. ∠AHC= ∠ACB C. ∠CHB= ∠A+∠B D. ∠CHB= ∠HCB 5. 如图,∠ABC+∠C+∠CDE = 360°,直线 FG 分别交 AB、 DE 于点 F、G,若∠1 = 120°, 则∠2 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 6. 如图,m∥n,直角三角板 ABC 的直角顶点 C 在两直线之间,两直角边与两直线相交所形 成的锐角分别为 α、β,则 α+β= 　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,a∥b,∠1 = 76°,∠3 = 72°,则∠2 的度 数是　 　 　 　 . 8. 如图,若∠1 = ∠3,DE∥OB,则∠1 与∠2 的 关系是　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,A 岛在 B 岛的北偏东 30°方向,C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向,A 岛在 C 岛北偏西 40°方向,从 A 岛看 B,C 两岛的视角∠BAC 是　 　 　 　 度. 10. [跨学科试题]光线在不同介质中的传播 速度是不同的,因此当光线从空气射向水 中时,要发生折射,由于折射率相同,所以 在空气中是平行的光线,在水中也是平行 的. 入射角与折射角之比为 4 ∶3. 如图,∠1 = 46°,则∠3-∠4 的度数为　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 11. [教材 P57 第 1 题变式](6 分)如图,已知 ∠AOB,利用尺规作∠MPN,使得∠MPN = 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 11 页 2∠AOB. (不写作法,保留作图痕迹) 12. (7 分)推理填空: 已知:如图,AB∥CD,∠B = 35°,∠1 = 75°, 求∠A 的度数. 解:因为 CD∥AB,∠B= 35°,(已知) 所以∠2 = = °. ( ) 因为∠1 = 75°, 所以∠ACD= ∠1+∠2 = °. 因为 CD∥AB(已知), 所以∠A+ = 180°, ( ) 所以∠A= °. 13. (8 分)(宜昌一模)如图,已知 AB∥CD,连 接 BC. 点 E,F 是直线 AB 上不重合的两 点,G 是 CD 上一点,连接 ED 交 BC 于点 N,连接 FG 交 BC 于点 M. 若 ∠ENC + ∠CMG= 180°. (1)试说明∠2 = ∠3; (2)若∠A = ∠1+ 60°,∠ACB = 50°,求∠B 的度数. 14. (9 分) “一带一路” 让中国和世界联系更 紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁 路两旁安置了两座可旋转探照灯. 如图所 示,灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转,灯 B 射线从 BP 开始顺时针 旋转至 BQ 便立即回转,两灯不停交叉照 射巡视. 若灯 A 转动的速度是每秒 2°,灯 B 转动的速度是每秒 1°. 假定主道路是平行 的,即 PQ∥MN,且∠BAM ∶∠BAN= 2 ∶1. (1)填空:∠BAN= . (2)若灯 B 射线先转动 30 秒,灯 A 射线才 开始转动,在灯 B 射线到达 BQ 之前,A 灯 转动几秒,两灯的光束互相平行? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 12 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 3 平行线中的拐点问题 ———教材 P54 素材变式 变式角度 1　 单拐点 1. 如图,直线 a∥b,将一个含 30°角的三角尺 按如图所示的位置放置,若∠1 = 24°,则∠2 的度数为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 120° B. 136° C. 144° D. 156° 2. 阅读(1)题的说理过程,写出(2)题的说理 过程. (1) 已知:如图 ( 1), AB∥CD. 对 ∠AEC = ∠BAE+∠DCE 说明理由. 理由:作 EF∥AB,则有 EF∥CD(平行于同一 条直 线 的 两 条 直 线 平 行 ) . 因 为 ∠1 = ∠BAE,∠2 = ∠DCE. (两直线平行,内错角 相等) 所以 ∠AEC = ∠1 + ∠2 = ∠BAE + ∠DCE(等量代换); (2) 如图( 2),AB∥CD. 对∠BAE+ ∠AEC+ ∠DCE= 360°说明理由. (1) 　 　 (2) 变式角度 2　 双拐点,均在平行线的外侧 3. 如图,已知直线 l1∥l2,B,C 分别为直线外两 点,连接 BC 交直线 l1,l2 于点 E,F,求∠1+ ∠2+∠ABE+∠DCF 的值. 变式角度 3　 双拐点,均在平行线的内侧 4. 如图,AB∥CD,若∠1 = 40°,∠2 = 50°,∠3 = 65°,求∠4 的度数. 变式角度 4　 多拐点 5. 如图, EF 交 AB 于点 K, ∠EKB = 50°, ∠EFG= 80°,∠FGC = 50°,∠GCD = 20°,试 说明 AB∥CD. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 13 页 针对练习 6. 如图,已知直线 l1∥l2,直线 l 与直线 l1、l2 分 别交于点 C 和点 D,点 P 是直线 l 上一动 点,点 A 在直线 l1 上,点 B 在直线 l2 上,且 点 A 和点 B 位于直线 l 同一侧. (1)如图 1,当 P 点在线段 CD(不含端点 C 和 D) 上运动时,若∠PAC = 20°, ∠PBD = 50°, 则 ∠APB = 　 　 　 　 °, 请 你 猜 想 ∠APB,∠PAC,∠PBD 三个角的数量关系 (直接写出猜想结果,无需证明); (2)如图 2,当点 P 运动到直线 l1 上方时, 若 ∠PAC = m°, ∠PBD = n°, 则 ∠APB = 　 　 　 　 °(用含有 m、n 的式子表示); (3)如图 3,当点 P 运动到直线 l2 下方时, 猜想∠PAC,∠PBD 和∠APB 三个角的数量 关系,并说明你的猜想. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 7. 已知 AB∥CD,点 E、F 分别在 AB、CD 上,点 O 在 AB、CD 之间. (1)如图 1,试说明∠EOF= ∠BEO+∠DFO; (2) 如图 2,若 OE⊥OF,EG、FG 分别平分 ∠BEO 和∠DFO,求∠G 的度数; (3)如图 3,若∠EOF 的度数为 α,EM 平分 ∠BEO 交 FO 的 延 长 线 于 M, FN 平 分 ∠DFO 交 EO 的延长线于点 N,求∠M+∠N 的度数(用含 α 的式子表示) . 图 1 图 2 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 14 页 第七周　 变量之间的关系(3. 1-3. 3) 测试时间:40 分钟　 测试分数:45 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 李师傅到单位附近的加油站加油,如图是所 用的加油机上的数据显示牌,则其中的常量 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和单价 第 1 题图 　 　 第 4 题图 2. 一辆汽车离开站台 5 千米后,以 40 千米每 小时的速度匀速前进了 t 小时,则从汽车离 开站台起所走的路程 S(千米)与时间 t(小 时)之间的关系式是(　 　 ) A. S= 5+40t B. S= 40t C. S= 40t-5 D. S= 5-40t 3. 某品牌电饭锅成本价为 70 元,销售商对其 销量与定价的关系进行了调查,结果如下: 定价(元) 100 110 120 130 140 150 销量(个) 80 100 110 100 80 60 在这个问题中,下列说法正确的是(　 　 ) A. 定价是自变量,销量是因变量 B. 销量是自变量,定价是因变量 C. 定价为 110 元时,销量为 110 个 D. 定价越高,销量越大 4. 夏季是雷雨高发季节,为缓解暴雨带来的洪 灾问题,某村在道路内侧新建了一个排水渠 排水(横截面如图),某天突发暴雨,排水渠 开始积水,水位上涨,暴雨停歇后,排水渠继 续排水至积水全部排出,假设排水速度为 5v,进水速度为 7v,下列图象中,能反映排水 渠中水位高度 h 与时间 t 的关系的大致图 象是(　 　 ) A. B. C. D. 5. 在实验课上,小亮利用同一块木板测得小车 从不同高度(h)与下滑的时间( t)的关系如 下表: 支撑物 高 h(cm) 10 20 30 40 50 … 下滑时 间 t(s) 3. 25 3. 01 2. 81 2. 66 2. 56 … 以下结论错误的是(　 　 ) A. 当 h= 40 时,t 约 2. 66 秒 B. 随高度增加,下滑时间越来越短 C. 估计当 h= 80 cm 时,t 一定小于 2. 56 秒 D. 高度每增加 10 cm,时间就会减少 0. 24 秒 6. 自然环境中,大气压受到各种因素的影响, 其中以海拔的影响最为显著,大气压随着海 拔的变化而变化,而随着海拔的升高,空气 中的含氧量与海拔的关系如图所示,观察图 中数据,下列说法正确的是(　 　 ) 信息窗 海平面空气中的含氧量约为 20. 95% 海拔高度每抬升 100 m,含氧量下降约 0. 16%,含氧量低于 18%属于缺氧,低于 10%时人无法行动 A. 海拔越高,大气压越大 B. 海拔为 7 千米时,大气压约为 60 千帕 C. 大气压为 70 千帕时,含氧量属于缺氧 D. 大气压为 60 千帕时,人无法行动 7. 某同学早上 8 点坐车 从学校出发去李大钊 纪念馆参观学习,汽 车离开学校的距离 S (千米) 与所用时间 t (分)之间的关系如图所示,已知汽车在途 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 15 页 中停车加油一次,则下列描述:①汽车在途 中加油用了 10 分钟;②若 OA∥BC,则加满 油以后的速度为 80 千米 /小时;③若汽车加 油后的速度是 90 千米 /小时,则 a= 25;④该 同学 8:55 到达李大钊纪念馆. 其中正确的 有(　 　 )个. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 8. 如图所示是关于变量 x,y 的程序计算,若开 始输入的 x 值为 2,则最后输出因变量 y 的 值为　 　 　 　 . 9. 将长为 23 cm、宽为 10 cm 的长方形白纸,按 如图所示的方法粘合起来,粘合部分的宽为 2 cm,设 x 张白纸粘合后的总长度为 y cm,y 与 x 的关系式为　 　 　 　 . 10. 如图,小颖依据所在城市某日连续 12 个小 时的风力变化情况,画出了风力随时间变 化的图象,根据图象进行判断,下列说法不 正确的有　 　 　 　 . (填序号) ①8 时风力最小;②在 8 时至 12 时,最大 风力为 5 级;③这 12 小时,风力最大超过 7 级;④8 时至 14 时,风力不断增大. 三、解答题(共 15 分) 11. (7 分)李师傅喜欢自驾游,为了解他新买 轿车的耗油情况,将油箱加满后进行了耗 油实验,得到如表数据: 行驶的路 程 s(km) 0 100 200 300 400 … 油箱剩余 油量 Q(L) 50 42 34 26 18 … (1) 如表反映的两个变量中,自变量是 　 　 　 　 　 　 　 　 ,因变量是 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2) 根据表格可知,该轿车油箱的容量 为　 　 　 　 L, 轿 车 每 行 驶 100 km, 耗 油　 　 　 　 L; (3 ) 请 写 出 两 个 变 量 之 间 的 关 系 式: 　 　 　 　 (用 s 来表示 Q); (4)若李师傅将油箱加满后驾驶该轿车从 A 地前往 B 地,到达 B 地时油箱中的剩余 油量为 24. 4 L,则 A、B 两地之间的距离是 　 　 　 　 km. 12. (8 分)为了体验大学校园文化,小华利用 周末骑电动车从家出发去深圳大学,当他 骑了一段路时,想起要帮在深大读书的张 浩买一本书,于是原路返回到刚经过的新 华书店,买到书后继续前往深大,如图是他 离家的距离与时间的关系示意图,请根据 图中提供的信息回答下列问题: (1)小华家离深圳大学的距离是　 　 　 米. (2)小华在新华书店停留了　 　 　 分. (3)买到书后,小华从新华书店到深圳大 学骑车的平均速度是　 　 　 米 / 分. (4)本次去深圳大学途中,小华一共行驶 了　 　 　 米. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 16 页 期中测前题组训练 选填题 满分:69 分 一、选择题(每小题 3 分,共 39 分) 1. 下列运算中正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a-3 = ( -a) 3 B. a5 ÷( -a) 5 = -1 C. ( 1 2 ab2) 3 = 1 8 a3b5 D. (3a-b) 2 = 9a2 -b2 2. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 30°角的补角是 60° B. 两条直线被第三条直线所截,所得的同 位角相等 C. 相等的两个角是对顶角 D. 在同一平面内两条直线的位置关系有相 交和平行两种 3. 下列几个图形中,∠1 和∠2 不是同位角的 是(　 　 ) A. B. C. D. 4. 下列各式中,不能运用平方差公式计算的 是(　 　 ) A. (m-n)( -m-n) B. ( -1+mn)(1+mn) C. ( -m+n)(m-n) D. (2m-3)(2m+3) 5. 小华同学喜欢锻炼,周六他先从家跑步到新 华公园,在那里与同学打一会儿羽毛球后又 步行回家,下面能反映小华离家距离 y 与所 用时间 x 之间关系的图象是(　 　 ) A. B. C. D. 6. 若 2m = 3,2n = 4,则 23m-2n 等于(　 　 ) A. 27 16 B. 27 8 C. 9 8 D. 11 7. 如图所示,下列判断错误的是(　 　 ) A. 若∠1 = ∠3,AD∥BC,则 BD 是∠ABC 的 平分线 B. 若 AD∥BC,则∠1 = ∠2 = ∠3 C. 若∠3+∠4+∠C= 180°,则 AD∥BC D. 若∠2 = ∠3,则 AD∥BC 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,已知∠AOB,以点 O 为圆心,以任意长 为半径画弧①,分别交 OA,OB 于点 E,F,再 以点 E 为圆心,以 EF 长为半径画弧,交弧 ①于点 D,画射线 OD. 若∠AOB = 28°,则 ∠BOD 的补角的度数为(　 　 ) A. 124° B. 39° C. 56° D. 144° 9. 如图,直线 AB∥CD,将含有 45°角的三角板 EFP 的直角顶点 F 放在直线 CD 上,顶点 E 放在直线 AB 上,若∠1 = 28°,则∠2 的度数 为(　 　 ) A. 45° B. 17° C. 25° D. 30° 第 9 题图 　 　 第 12 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 17 页 10. 已知 4x2 + 9y2 +m 是完全平方式,则 m 等 于(　 　 ) A. ±6xy B. ±12xy C. 18xy D. 36xy 11. 已知(2x-5)(x+m)= 2x2 -3x+n,则(　 　 ) A. m= -1,n= 5 B. m= 1,n= -5 C. m= -5,n= 1 D. m= -5,n= -1 12. 如图,AB∥CD,BC∥DE,则∠B+∠D 的度 数为(　 　 ) A. 120° B. 150° C. 180° D. 210° 13. 如图,两个正方形的边长分别 为 a,b,如果 a+b = 8,ab = 12, 则阴影部分的面积为(　 　 ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 14. DNA 分子直径为 0. 000 000 69 cm,则这个 数用科学记数法表示为　 　 　 　 . 15. 计算:20 +( - 1 2 ) -2 = 　 　 　 　 . 16. 立定跳远时,老师测量跳远距离,其中数学 原理是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 17. 一个角的补角是这个角的 2 倍,则这个角 是　 　 　 　 度. 18. 计算:(2+1) ×(22 + 1) ×(24 + 1) +(27 -1) 2 = 　 　 　 　 . 19. 某汽车生产厂对其生产的 A 型汽车进行 油耗试验,试验中汽车为匀速行驶,在行驶 过程中,油箱的余油量 y(升)与行驶时间 t (小时)之间的关系如表: t(小时) 0 1 2 3 y(升) 120 112 104 96 由表格中 y 与 t 的关系可知,当汽车行驶 　 　 　 　 小时,油箱的余油量为 0. 20. 如图,∠AOB = 30°,用尺规作图:以 O 为 顶点,射线 OA 为一边作一个角 ∠AOC, 使∠AOC = 60°, 则 ∠BOC 的 度 数 为　 　 　 　 . 第 20 题图 　 　 第 21 题图 21. 如图,AB∥CD,直线 EF 与 AB,CD 分别交 于点 G,H,GM⊥GE,∠BGM= 20°,HN 平分 ∠CHE,则∠NHD 的度数为　 　 　 　 . 22. 甲、乙两人以相同路线前往距离单位 10 km 的培训中心参加学习. 图中 l甲、l乙 分别 表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 S (千米)随时间 t(分)变化的图象. 以下说 法:①乙比甲提前 12 分钟到达;②甲的平 均速度为 15 千米 / 小时;③乙走了 8 千米 后遇到甲;④乙出发 6 分钟后追上甲. 其中正确的有　 　 　 　 (填所有正确的序 号). 23. 如图 1,将边长为 x 的大正方形剪去一个 边长为 1 的小正方形(阴影部分),并将剩 余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将 这两个长方形拼成图 2 所示长方形. 这两 个图能解释一个等式是　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 18 页 期中测前题组训练 解答题 满分:70 分 1. (8 分)计算: (1)(π-3) 0 +( 1 2 ) -2 +( -1) 2 022; (2)x·x2·x3 +(x2) 3 -2(x3) 2; 2. (8 分)化简求值: [(x+2y) 2 -(x-2y) 2 -(x+2y) (x-2y) -4y2 ] ÷2x,其中 x= -2,y= 1 2 . 3. (8 分)许老师给同学们出了一道题:当 x = 2 022,y = 2 023 时,求代数式 [( x2 - y2 ) - (x-y) 2 +2y(x-1)] ÷4y 的值. 题目出完后, 小军说:“老师给的条件 y = 2 023 是多余 的. ”小强说:“不给这个条件就不能求出结 果,不是多余的. ” 你说说他们说的有道理 吗,为什么? 4. ( 8 分) 如图, 直线 AB, CD 相交于点 O, ∠AOD= 56°,OE 平分∠BOC. 且 OF⊥OE, 求∠COF 的度数. 5. (10 分)完成下面的解题过程: 已知: 如图, ∠D = 123°, ∠EFD= 57°,∠1 = ∠2. 试说明∠3 = ∠B. 理由: 因 为 ∠D = 123°, ∠EFD= 57°(已知), 所以∠D+∠EFD= 180°, 所以 AD∥　 　 　 　 ( 　 　 　 　 　 　 　 　 ), 又因为∠1 = ∠2(已知), 所以 　 　 　 ∥BC(内错角相等,两直线平 行), 所以 EF∥　 　 　 ( 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ), 所以∠3 = ∠B(两直线平行,同位角相等). 6. (9 分)巴蜀中学的小明和朱老师一起到一 条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明 做了一会准备活动,朱老师先跑. 当小明出 发时,朱老师已经距起点 200 米了. 他们距 起点的距离 s(米)与小明出发的时间 t(秒) 之间的关系如图所示(不完整). 据图中给 出的信息,解答下列问题: (1)在上述变化过程中,自变量是　 　 　 　 , 因变量是　 　 　 　 ; (2)朱老师的速度为 　 　 　 　 米 / 秒,小明 追上老师前的速度为　 　 　 　 米 / 秒; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 19 页 (3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距 起点的距离是多少米? 7. (8 分)如图 1 是一个长为 4a、宽为 b 的长方 形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方 形,然后用四块小长方形拼成的一个“回 形”正方形(如图 2). (1)图 2 中的阴影部分的面积为　 　 　 　 ; (2)观察图 2 请你写出(a+b) 2、(a-b) 2、ab 之间的等量关系是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (3)根据(2)中的结论,若 p-q = - 4,p×q = 9 4 ,则(p+q) 2 = 　 　 　 　 . (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形 的面积来表示. 如图 3,它表示了　 　 　 　 . (5)试画出一个几何图形,使它的面积能表 示(2a+b)(a+2b)= 2a2 +5ab+2b2 . 图 1 　 图 2 　 图 3 8. (11 分) 【阅读探究】如图 1,已知 AB∥CD, E、F 分别是 AB、CD 上的点,点 M 在 AB、CD 两平行线之间,∠AEM = 45°,∠CFM = 25°, 求∠EMF 的度数. 解:过点 M 作 MN∥AB,因为 AB∥CD,所以 MN ∥ CD. 所 以 ∠EMN = ∠AEM = 45°, ∠FMN= ∠CFM= 25°. 所以∠EMF = ∠EMN +∠FMN= 45°+25°= 70°. 从上面的推理过程中,我们发现平行线具有 “等角转化” 的功能, 将 ∠AEM 和 ∠CFM “凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得 以解决. 进一步研究,我们可以发现图 1 中 ∠AEM、∠EMF 和∠CFM 之间存在一定的 数量关系,请直接写出它们之间的数量关 系:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 【方法运用】如图 2,已知 AB∥CD,点 E、F 分 别在直线 AB、CD 上,点M 在 AB、CD 两平行 线之间,求∠AEM、∠EMF 和∠CFM 之间的 数量关系. 【应用拓展】如图 3,在图 2 的条件下,作 ∠AEM 和∠CFM 的平分线 EP、FP,交于点 P(交点 P 在两平行线 AB. CD 之间),若 ∠EMF= 60°,求∠EPF 的度数. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 20 页 第八周　 认识三角形及图形的全等(4. 1-4. 2) 测试时间:40 分钟　 测试分数:65 分 一、选择题(每小题 3 分,共 27 分) 1. 已知三角形两边长分别为 7、11,那么第三 边的长可以是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三 角形是(　 　 ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 第 2 题图 　 　 第 4 题图 3. 给出下列说法: ①从直线外一点到这条直线的垂线段叫做 这个点到这条直线的距离; ②三角形的角平分线是射线; ③三角形的三条高所在的直线交于一点,这 一点不在三角形内就在三角形外; ④任何一个三角形都有三条高、三条中线、 三条角平分线; ⑤三角形的三条角平分线交于一点,且这点 在三角形内. 正确的说法有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 如图,某位同学将一副三角板随意摆放在桌 上,则图中∠1+∠2 的度数是(　 　 ) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 5. 下列说法中,正确的有(　 　 ) ①形状相同的两个图形是全等形; ②面积相等的两个图形是全等形; ③全等三角形的周长相等,面积相等; ④若△ABC≌△DEF,则∠A= ∠D,AB=EF. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6. 下列四个图形中,属于全等图形的是(　 　 ) ① 　 ② 　 ③ 　 ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①②④ 7. 如图,已知△ABC≌△CDE,其中 AB = CD, 那么下列结论中,不正确的是(　 　 ) A. AC=CE B. ∠BAC= ∠ECD C. ∠ACB= ∠ECD D. ∠B= ∠D 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线, 过点 C 的射线 CE 与 AD 平行,若∠B = 60°, ∠ACB=30°,则∠ACE 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 45° C. 55° D. 60° 9. 如图,在△ABC 中,M,N 分 别是边 AB,BC 上的点, 将 △BMN 沿 MN 折叠,使点 B 落在点 B′处,若∠B = 35°,∠BNM = 28°,则 ∠AMB′的度数为(　 　 ) A. 30° B. 37° C. 54° D. 63° 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 10. 已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,a,b 满足 | a-7 | + ( b - 1 ) 2 = 0, c 为 奇 数, 则 c = 　 　 　 　 . 11. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A-∠B = 60°, 那么∠A= 　 　 　 　 °. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 21 页 12. 如图,已知 BD 是△ABC 的中线,AB= 7,BC =5,且△ABD 的周长为 16,则△BCD 的周 长是　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 如图所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,BE 是高 线, ∠BAC = 50°, ∠EBC = 20°, 则 ∠ADC 的度数为　 　 　 　 . 三、解答题(共 26 分) 14. (9 分) 探究与发现:如图,在△ABC 中, ∠B= ∠C = 45°,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边上,且∠ADE= ∠AED,连接 DE. (1)当∠BAD= 60°时,求∠CDE 的度数; (2)当点 D 在 BC(点 B,C 除外)边上运动 时,试猜想∠BAD 与∠CDE 的数量关系为 　 　 　 　 . 15. (6 分)如图,D 是△ABC 中 BC 上的一点, DE∥AC 交 AB 于点 E,DF∥AB 交 AC 于点 F,且∠ADE = ∠ADF,AD 是△ABC 的角平 分线吗? 说明理由. 16. (11 分)如图①,AD 平分∠BAC,AE⊥BC, ∠B= 38°,∠C= 64°. (1)求∠DAE 的度数; (2)如图②,若把“AE⊥BC”变成“点 F 在 DA 的延长线上,FE⊥BC”,∠B=α,∠C= β (α<β),请用 α、β 的代数式表示∠DFE. 图① 　 　 图② 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 22 页 第九周　 探索三角形全等的条件(4. 3) 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 如图,一扇窗户打开后,用窗钩 AB 可将其 固定,这里所运用的几何原理是(　 　 ) A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 第 1 题图 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　2. 如图,点 B,F,C,E 在同一直线上,AC =DF, ∠1 = ∠2,如果根据 “ ASA” 判断△ABC≌ △DEF,那么需要补充的条件是(　 　 ) A. AB=DE B. ∠A= ∠D C. BF=CE D. ∠B= ∠E 3. 如图,在 △ABC 和 △DEF 中,点 B,C,E,F 在同一条 直线上,AB =DE,AC =DF, BE=CF,∠A = 95°,∠DEF = 25°,则∠F 的度数为(　 　 ) A. 25° B. 60° C. 70° D. 95° 4. 如图,在 2×3 的正方形方格中,每个小正方 形方格的边长都为 1,则∠1 和∠2 的关系 是(　 　 ) A. ∠2 = 2∠1 B. ∠2-∠1 = 90° C. ∠1+∠2 = 180° D. ∠1+∠2 = 90° 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,在 AB、AC 上各取一点 E、D,使 AE = AD,连接 BD,CE 相交于点 O,再连接 AO、 BC, 若 ∠1 = ∠2, 则图中全等三角形共 有(　 　 ) A. 5 对 B. 6 对 C. 7 对 D. 8 对 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 6. 在学习了《探索三角形全等的条件》 后,小 龙编了这样一个题目: “如图,已知 AB = CD, ∠A = ∠D, AO = DO, 求证: △ABO ≌ △DCO. ”老师说他的已知条件给多了,你 帮他去掉一个已知条件:　 　 　 　 . (写出 一个即可) 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,BA⊥AC,CD∥AB,BC = DE,且 BC⊥ DE,若 AB= 2,CD= 6,则 AE= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 34 分) 8. (6 分)补充完成下列推理 过程: 已知:如图,在△ABC 中,D 为 AB 的中点,过点 D 作 DE∥BC,交 AC 于 点 E,F 是 BC 上一点,连接 DF,且∠DFB = ∠ACB. 试说明:AE=DF. 解:因为 D 为 AB 的中点(已知), 所以 AD=DB(　 　 　 　 　 　 　 　 ) . 因为 DE∥BC(已知), 所以∠ADE= ∠DBF(　 　 　 　 　 　 　 　 ) . 又因为∠DFB= ∠ACB(已知), 所以 DF∥AC(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ), 所以∠DAE= 　 　 　 　 . 在△ADE 与△DBF 中, ∠ADE= ∠DBF AD=DB ∠DAE= ∠BDF ì î í ï ï ï ï , 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 23 页 所以△ADE≌△DBF(　 　 　 　 ), 所以 AE=DF(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . 9. (8 分)如图所示,小安同学为电力公司设计 了一个安全用电的标识,点 A、D、C、F 在同 一条直线上,且 AF=DC,BC=EF,BC∥EF. (1)试说明:AB∥DE; (2) 若∠A = 20°, ∠AFE = 102°,求 ∠E 的 度数. 　 　 10. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AD 为 ∠BAC 的平分线,E 为 AC 边上一点,连接 BE 与 AD 交于点 F,G 为△ABC 外一点,满 足 ∠ACG = ∠ABE, ∠FAG = ∠BAC, 连 接 EG. (1)试说明:△ABF≌△ACG; (2)试说明:BE=CG+EG. 11. (10 分)如图 1,已知△ABC 中, ∠ACB = 90°,AC=BC,BE、AD 分别与过点 C 的直线 垂直,且垂足分别为 E,D. (1)猜想线段 AD、DE、BE 三者之间的数量 关系,并说明理由. (2)如图 2,当过点 C 的直线绕点 C 旋转 到△ABC 的内部,其他条件不变,如图 2 所示, ①线段 AD、DE、BE 三者之间的数量关系 是否发生改变? 若改变,请求出三者之间 的数量关系,若不改变,请说明理由; ②若 AD= 2. 8,DE= 1. 5 时,求 BE 的长. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 24 页 第十周　 用尺规作三角形及利用三角形全等测距离(4. 4-4. 5) 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图, 能得出∠A′O′B′= ∠AOB 的依据是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 2. 如图是嘉淇测量水池 AB 宽度的方案,下列 说法不正确的是(　 　 ) ①先确定直线 AB,过点 B 作 BF⊥AB;②在 BF 上取 C,D 两点,使得△;③过点 D 作 DE ⊥BF;④作射线□,交 DE 于点 M;⑤测量☆ 的长度,即 AB 的长. A. △代表 BC=CD B. □代表 AC C. ☆代表 DM D. 该方案的依据是 SAS 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,小明与小敏玩跷跷板游戏,如果跷跷 板的支点 O(即跷跷板的中点)至地面的距 离是 45cm, 当小敏从水平位置 CD 下降 20cm 时,小明离地面的高度是(　 　 ) A. 20cm B. 45cm C. 25cm D. 65cm 4. 如图所示,小语同学为了测量一幢楼高 AB, 在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P,测得 PC 与地面夹角∠DPC = 38°,测得 PA 与地面夹 角∠APB= 52°,量得点 P 到楼底的距离 PB 与旗杆的高度都是 9 m,量得旗杆与楼之间 的距离 DB= 36 m,则楼高 AB= (　 　 ) A. 36 m B. 27 m C. 25 m D. 18 m 第 5 题图 　 　 第 6 题图 5. 现有一块如图所示的四边形草地 ABCD,经 测量,∠B = ∠C,AB = 10 m,BC = 8 m,CD = 12 m,点 E 是 AB 边的中点. 小狗汪汪从点 B 出发以 2 m / s 的速度沿 BC 向点 C 跑,同 时小狗妞妞从点 C 出发沿 CD 向点 D 跑,若 能够在某一时刻使△BEP 与△CPQ 全等, 则妞妞的运动速度为(　 　 ) A. 3 2 m / s B. 5 2 m / s C. 2 m / s 或 3 2 m / s D. 2 m / s 或 5 2 m / s 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 6. 如图,把两根钢条的中点连 在一起,可以做成一个测量 工件内槽宽的工具(卡钳). 在图中,若测量得 A′B′= 15 cm,则工件内槽 宽 AB 为　 　 　 　 cm. 7. 小明沿一段笔直的人行道行走,边走边欣赏 风景,在由 C 走到 D 的过程中,通过隔离带 的空隙 P,刚好浏览完对面人行道宣传墙上 的一条标语,具体信息如下:如图,AB∥PM ∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD 相交于 P,PD⊥CD 垂足为 D. 已知 CD= 165 米. 请根据上述信息求标语 AB 的长度为 　 　 　 　 米. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 25 页 三、解答题(共 34 分) 8. (7 分)如图,已知∠α,∠β,用直尺和圆规 作△ABC,使得∠A= ∠α,∠B= ∠β,AB= c. 9. (9 分)如图,小明和小华两家位于 A,B 两 处,隔河相望. 要测得两家之间的距离,小明 设计如下方案:从点 B 出发沿河岸画一条 射线 BF,在 BF 上截取 BC = CD,过点 D 作 DE∥AB,取点 E 使 E,C,A 在同一条直线上, 则 DE 的长就是 A,B 之间的距离,说明他设 计的道理. 10. (9 分)1805 年,法军在拿破仑的率领下与 德军在莱茵河畔激战. 德军在莱茵河北岸 点 Q 处,如图所示,因不知河宽,法军大炮 很难瞄准敌营. 聪明的拿破仑站在南岸的 点 O 处,调整好自己的帽子,使视线恰好 擦着帽舌边缘看到对面德国军营 Q 处,然 后他保持原来的观察姿态,一步一步后退, 一直退到点 B 处,发现自己的视线恰好落 在他刚刚站立的点 O 处,让士兵丈量他所 站立的位置 B 点与 O 点之间的距离,并下 令按照这个距离炮轰德军. 试问:法军能命 中目标吗? 请说明理由. (注:AB⊥BQ,PO ⊥BO,AB=PO,点 B、O、Q 在一条直线上) 11. (9 分)如图所示,两根与地平线垂直的旗 杆 AC,BD 相距 12 米,某人从 B 点沿 BA 走 向 A,一定时间后他到达点 M,此时他仰望 旗杆的顶点 C 和 D,两次视线的夹角为 90°,且 CM = DM,已知旗杆 AC 的高为 3 米,该人的运动速度为 2 米 /秒,求这个人 还需要多长时间才能到达 A 处? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 26 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 4 三角形全等的判定 ———教材 P104 习题第 2 题变式 变式角度 1　 平移型 1. 已知:如图,点 A、D、C、F 在同一直线上,AB ∥DE,∠B= ∠E,BC=EF. 试说明:AD=CF. 变式角度 2　 对称型 2. 如图,已知线段 AC,BD 相交于点 E,AE = DE,BE=CE. (1)试说明:△ABE≌△DCE; (2)已知 AB = 5,延长 BA、CD 相交于点 O, 若 AO= 4,求 CO 的长. 变式角度 3　 旋转型 3. 如图,∠A = ∠B,AE = BE,点 D 在 AC 边上, ∠1 = ∠2,AE 和 BD 相交于点 O. (1)试说明:△AEC≌△BED. (2) 若 ∠1 = 40°, ∠ADE = 110°,求 ∠C 的 度数. 变式角度 4　 一线三等角型 4. 如图,∠BAC= 90°,AD 是∠BAC 内部一条射 线,若 AB=AC,BE⊥AD 于点 E,CF⊥AD 于 点 F. 试说明:AF=BE. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 27 页 变式角度 5　 手拉手模型 5. 已知△ABC 和△CDE 中,CA = CB,CD = CE, ∠ACB= ∠DCE=α,AE 与 BD 交于点 F. (1)如图 1,当 α= 90°时, 试说明:①△ACE≌△BCD; ②AE⊥BD; (2)如图 2,当 α= 60°时,直接写出∠AFB 的 度数为　 　 　 　 ; (3 ) 如图 3, 直接写出 ∠AFD 的度数为 　 　 　 　 (用含 α 的式子表示). 图 1 　 图 2 　 图 3 针对训练 6. (1)某学习小组在探究三角形全等时,发现 了下面这种典型的基本图形. 如图①,已知: 在△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=AC,直线 l 经 过点 A,BD⊥直线 l,CE⊥直线 l,垂足分别 为点 D、E. 请直接写出线段 DE、BD、CE 的 数量关系 　 . (2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那 结论是否会成立呢? 如图②,将(1)中的条 件改为:在△ABC 中,AB = AC,D、A、E 三点 都在直线 l 上, 并且有 ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC=α,其中 α 为任意锐角或钝角. 请问 (1)中结论是否成立? 并说明理由. (3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓 励他们运用这个知识来解决问题:如图③, 过△ABC 的边 AB、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG(正方形的 4 条边都相等,4 个角都是直角),AH 是 BC 边上的高,延长 HA 交 EG 于点 O, 若 AH = 2, AO = 4, 求 △AEG 的面积. 图① 　 图② 图③ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 28 页 第十一周　 轴对称现象及探索轴对称的性质(5. 1-5. 2) 测试时间:40 分钟　 测试分数:75 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 比亚迪新能源汽车热销海外,其王朝系列尤 其受欢迎,该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型 是以我国五个朝代命名,每个车型都有自己 对应的汉字篆体 Logo,下列 Logo 中,是轴对 称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,△ABC 与△A′B′C′关于直 线 l 对称,∠A= 54°,∠C′= 26°, 则∠B 等于(　 　 ) A. 36° B. 154° C. 80° D. 100° 3. 如图,将长方形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图 所示的图形,已知∠CEF = 56°,则∠AED 的 度数是(　 　 ) A. 62° B. 50° C. 75° D. 55° 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,已知 AD 所在直线是△ABC 的对称 轴,点 E、F 是 AD 上的两点,若△ABC 的面 积为 18. 则图中阴影部分的面积是(　 　 ) A. 6 B. 12 C. 9 D. 无法确定 5. 如图,在长方形 ABCD 中,AB = 10,BC = 5,点 E、F 分别在 AB、CD 上,将长方形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A,D 分别落在长方形 ABCD 外部的点 A1、D1 处,则阴影部分图形的周长 为(　 　 ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 第 5 题图 　 第 6 题图 6. 如图,弹性小球从点 P 出发,沿所示方向运 动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹 时射入的直线与射出直线关于过反弹点垂 直长方形边的直线对称. 小球从 P 点出发 第 1 次碰到长方形边上的点记为 A 点,第 2 次碰到长方形边上的点记为 B 点,……第 2 024 次 碰 到 长 方 形 边 上 的 点 为 图 中 的(　 　 ) A. A 点 B. B 点 C. C 点 D. D 点 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 看镜子里有一个数“ ”,这个数实际 是　 　 　 　 . 8. 如图,两个三角形通过适当摆放,可关于某 条直线成轴对称,则 x= 　 　 　 　 °. 　 9. 如图,Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,∠C = 40°, 沿 AD 折叠,使点 B 折到 BC 边上 B′处,则 ∠CAB′= 　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = 12, AC= 16,BC = 20,将△ABC 沿射线 BM 折 叠,使点 A 与 BC 边上的点 D 重合,E 是射 线 BM 上一动点,则△CDE 周长的最小值 为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 29 页 三、解答题(共 45 分) 11. (8 分)如图,五边形 ABCDE 是轴对称图 形,线段 AF 所在直线为对称轴,找出图中 所有相等的线段和相等的角. 12. (8 分)请在网格中完成下列问题: (1)在图 1 中画出△ABC 关于直线 PQ 成 轴对称的△A′B′C′; (2) 在图 2 中画出△ABC 与△DEF 的对 称轴. 图 1 　 　 图 2 13. (9 分)如图,△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称,已知 AB = 15,DE = 10,∠D = 70°. 求 ∠B 的度数及 BC,AD 的长度. 14. (10 分)如图的三角形纸板中,AB = 8 cm, BC= 6 cm,AC= 5 cm,沿过点 B 的直线折叠 这个三角形,使点 C 落在 AB 边的点 E 处, 折痕为 BD. (1)求△AED 的周长; (2) 若∠C = 100°,∠A = 50°,求∠BDE 的 度数. 15. (10 分)如图,P 在∠AOB 内,点 M,N 分别 是点 P 关于 AO,BO 的对称点,MN 分别交 OA,OB 于 E,F. (1)若△PEF 的周长是 10cm,求 MN 的长; (2) 连接 OM、 ON, 若 ∠AOB = 30°, 试求 ∠MON 的度数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·七年级下·BS·数学　 第 30 页 (2)原式= 2(a2 +4a+4) -(a2 -1)= 2a2 +8a+8 -a2 +1 =a2 +8a+9. ……(6 分) 把 a= -1 代入得原式= ( -1) 2 +8×( -1) +9 = 1 -8+9 = 2. ……(8 分) 18. 内错角相等,两直线平行　 1　 两直线平行,内 错角相等　 C　 等量代换　 同位角相等,两直线 平行 ……(8 分) 19. 解:因为△ABC≌△ADE,∠CAD= 10°,∠EAB = 120°,所以 ∠DAE = ∠BAC = 1 2 ( ∠EAB - ∠CAD)= 1 2 ×(120°-10°)= 55°, ……(3 分) 所以∠DFB = 180° - ( 180° - ∠FAB - ∠B) = ∠FAB+∠B= 10°+55°+25°= 90°, ……(6 分) ∠DGB= 180°-(180°-∠DFB) -∠D = ∠DFB -∠D= 90°-25°= 65°. ……(9 分) 20. 解:(1)因为 450<500,所以小华购物 450 元, 不能获得转动转盘的机会,所以小华获得购 物券的概率为 0; ……(3 分) (2)小丽购物 600 元,能获得一次转动转盘的 机会,①她获得 50 元购物券的概率是 5 20 = 1 4 ; ……(6 分) ②她获得 100 元以上(包括 100 元)购物券的 概率是 7 20 . ……(10 分) 21. 解:(1) ……(3 分) (2)在湖岸上选一点 O,连接 BO 并延长到 C 使 BO=OC,连接 AO 并延长到点 D 使 OD = AO,连接 CD,则 AB = CD. 测量 DC 的长度即 为 AB 的长度; ……(6 分) ( 3 ) 设 DC = m. 因 为 BO = CO, ∠AOB = ∠COD, AO = DO, 所 以 △AOB ≌ △DOC (SAS),所以 AB=CD=m. ……(10 分) 22. 解:(1)由图易知,小明骑车速度为 10÷0. 5 = 20(千米 /时) . 在甲地游玩的时间是 1-0. 5 = 0. 5(小时) . ……(4 分) (2)60 ……(6 分) (3)设小明到乙地所用时间为 m 小时,由题 意得 60(m- 4 3 - 1 6 )= 20(m- 1 2 ),解得 m= 2, ……(9 分) 所以从家到乙地的路程:20×(2- 1 2 )= 30(千 米) . ……(11 分) 23. 解: ( 1) CE = CF,理由如下:因为 ∠ACB = 90°,CD ⊥ AB, 所以 ∠CAF + ∠CFA = 90°, ∠AED+∠EAD= 90°. ……(3 分) 因为 AF 平分∠CAB,所以∠CAF = ∠EAD,所 以∠CFA= ∠AED. 因为∠AED= ∠CEF,所以 ∠CFA= ∠CEF,所以 CE=CF. ……(4 分) (2)2　 ……(6 分) 【解析】 AD = 1 4 AB,CF = 1 3 CB,S△ABC = 24,所 以 S△ACD = 1 4 S△ABC = 6,S△ACF = 1 3 S△ABC = 8,所 以 S△CEF - S△ADE = ( S△ACF - S△AEC ) - ( S△ACD - S△AEC)= 8-6 = 2. (3)猜想:BE′=CF. ……(7 分) 证明:因为∠ACB = 90°,CD⊥AB 于 D,所以 ∠ACD+ ∠DCB = 90°,∠B+ ∠DCB = 90°,所 以∠ACD= ∠B. 因为 AE=A′E′,∠EAD= ∠E′ A′D′(由平移全等可得),AF 平分∠CAB,所 以∠CAF= ∠EAD,所以∠CAF= ∠E′A′D′. ……(8 分) 在△EAC 与△E′A′B 中, ∠ACD= ∠B ∠CAF= ∠E′A′B AE=A′E′ { , 所以 △EAC ≌ △E′ A′ B ( AAS), 所以 CE = BE′,由(1)已证 CE=CF,所以 BE′=CF. ……(11 分) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 第一周 1. C　 【解析】A. a6 ÷a2 = a4;B. (a4) 3 = a12;C. -a ·a3 = -a4;D. (ab3) 2 =a2b6 . 故选 C. 2. B　 【解析】0. 000000022 = 2. 2×10-8 . 故选 B. 3. C 　 【解析】使(x-2023) -2 +(x+2023) 0 有意 义,则 x-2023≠0 且 x+ 2023≠0,即 x≠2023 且 x≠-2023. 故选 C. 4. B　 【解析】因为 3m = 5,3n = 2,所以 3m+n = 3m· 3n = 5×2 = 10. 故选 B. 5. D　 【解析】因为 9m = 27n,所以(32)m = (33) n, 所以 32m = 33n,所以 2m= 3n. 故选 D. 6. D 7. 7　 【解析】因为(a2) 3 = am ÷a,所以 a6 = am-1, 所以 m-1 = 6,解得 m= 7. 8. 4　 【解析】因为 3x = 20,3y = 5,所以 3x-y = 3x ÷ 3y = 20÷5 = 4. 9. 7. 7×10-6 10. 17 16 　 【解析】3∗0+2∗4 = 30 +2-4 = 1+ 1 16 = 17 16 . 11. 解:(1)原式=a8 +4a8 +a8 = 6a8; ( 2 ) 原 式 = (q-p) 4 ÷ (q-p) 3 · (q-p) 2 = (q-p) 3; (3)原式= 4× 1 4 -9÷1 = 1-9 = -8. 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 25 页 12. 解:(1)原式= [8×( -0. 125)] 2023 = ( -1) 2023 = -1; (2)原式= (12 5 ) 11 ×( 5 6 ) 11 ×( 5 6 ) 2 ×( 1 2 ) 11 × 1 2 = (12 5 × 5 6 × 1 2 ) 11 ×( 5 6 ) 2 × 1 2 = 25 72 . 13. 解:(1)24 +24 = 2×24 = 25 (2)2n+2n = 2×2n = 2n+1 (3)原式= 22 +22 +23 +…+2100 = 23 +23 +…+2100 = …… = 2100 +2100 = 2101 . 14. 解:(1)纸对折一次时,就得到 2 层,即 21 层; 当对折两次时,就得到 4 层,即 22 层;当对折 三次时,就得到 8 层,即 23 层;当折纸的次数 是 n 时,折得的层数是 2n(1≤n≤7 且 n 为正 整数); (2)26 = 64,所以对折 6 次时,层数是 64; (3) 0. 1×27 = 0. 1×128 = 12. 8( mm),所以对 折 7 次时,总厚度是 12. 8mm. 15. 解:(1)因为 344 = (34) 11 = 8111,433 = (43) 11 = 6411,522 = (52) 11 = 2511,而 81 > 64 > 25,所以 8111 >6411 >2511,即 344 >433 >522; (2) 因为 8131 = (34) 31 = 3124,2741 = (33) 41 = 3123,961 = (32) 61 = 3122,而 124>123>122,所以 3124 >3123 >3122,即 8131 >2741 >961 . 第二周 1. B　 【解析】2a2·(-3a)= -6a3 . 故选 B. 2. D　 【解析】因为 a(a-2)= 8,所以 a2 -2a = 8, 所以 a2 -2a-6 = 8-6 = 2. 故选 D. 3. B　 【解析】A. (2a+3b)(2a-3b)= 4a2 -9b2;C. (-2a+3b)(-2a-3b)= 4a2 -9b2;D. (2a-3b)(- 2a-3b)= 9b2 -4a2. 故选 B. 4. A　 【解析】因为(x+m)(x+3)= x2 +(m+3) x+ 3m,且不含有 x 的一次项,所以 m+3 = 0,即 m = -3. 故选 A. 5. C　 【解析】因为 1 4 x2 -(a-1)x+9 是一个完全平 方式,所以-(a-1)= ±2× 1 2 ×3,解得 a=4 或-2.故 选 C. 6. C　 【解析】大长方形的面积为(5a+7b) (7a+ b)= 35a2 +54ab+7b2,C 类卡片的面积是 ab,所 以需要 C 类卡片的张数是 54,所以不够用,还 缺 4 张,故选 C. 7. B　 【解析】由题可得,两个小正方形重叠的部 分面积可以表示为:b(b+b-a)= 2b2 -ab = 48, 同时,长方形 ABCD 的面积可以表示为:ab = 80,则:2b2 = ab+48 = 128,显然 b 为正数,则解 得 b= 8,则 a = 10,所以 a2 +b2 = 102 +82 = 164. 故选 B. 8. -1　 【解析】2024×2022-20232 = (2023+1) × (2023-1)-20232 = 20232 -12 -20232 = -1. 9. 7　 【解析】因为(x-5)(x+m)= x2 +(m-5) x- 5m= x2 +2x-35,所以 m-5 = 2,5m = 35,解得 m = 7. 10. 2024　 【解析】因为 ab = a+b+2023,所以(a- 1)(b-1)= ab-a-b+ 1 = a+b+ 2023-a-b+ 1 = 2024. 11. 4ab-3a-2　 【解析】(3a+2)(2b-1)-b(2a+ 4)= 6ab-3a+4b-2-2ab-4b = 4ab-3a-2,故剩 余部分面积为 4ab-3a-2. 12. 解:(1)原式=a2 +a-a2 +9 =a+9; (2)原式= [( -y) +(x+z)] [( -y) -(x+z)] = ( -y) 2 -(x+z) 2 = y2 -(x2 +2xz+z2 )= y2 -x2 -2xz -z2; (3)原式= x(x2 +2x+1) -( x2 +x3 ) -x+2 = x3 + 2x2 +x-x2 -x3 -x+2 = x2 +2. 13. 解:原式 = 6a3 - 12a2 + 9a- 6a3 - 8a2 = - 20a2 + 9a. 当 a= -2 时,原式= -20×4-9×2 = -98. 14. 解:任务一:(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 任务二:二　 漏乘 任务三:4y2 -2xy-x 任务四:平时计算时还要注意不要用错乘法 公式. 15. 解:原来的面积为 4a×4a= 16a2(m2), 改造后的面积为(4a-2)(4a+2)= (16a2 -4) m2, 由于 16a2 -(16a2 - 4) = 4( m2 ),所以与原来 相比减少了 4m2 . 16. 解:(1)由题意得,(a+b) 4 = a4 +4a3b+6a2b2 + 4ab3 +b4 . 检验:(a+b) 4 = (a+b) 2 ·(a+b) 2 = (a2 +2ab+ b2)(a2 +2ab+b2)= a4 +2a3b+a2b2 +2a3b+4a2b2 +2ab3 +a2b2 +2ab3 +b4 = a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3 + b4; (2)10　 29 　 (3)由题意可知 25 -5×24 +10×23 -10×22 +5× 2-1 = 25 + 5 ×( - 1) × 24 + 10 ×( -1) 2 × 23 + 10 × ( -1) 3 ×22 +5×( -1) 4 ×2+( -1) 5 = (a+b) 5; 所以可取 a = 2,b = -1,即原式 = [2+( -1)] 5 = 1. 平方差公式的证明 1. 解:(1)a2 -b2 　 (a+b)(a-b) 　 (a+b)(a-b) = a2 -b2 (2)Q-P= (m2 +m+1) (m2 -m+1) -(m2 +2m+ 1)(m2 -2m+1)= (m2 +1) 2 -m2 -(m2 +1) 2 +4m2 = 3m2,因为 m 是不为 0 的有理数,所以 3m2 > 0,即 Q-P>0,所以 Q>P. 2. 解:(1)a-b (2)图 1 中阴影的面积为 a2 -b2,图 2 的面积 为(b+b+a+a) ×(a-b) × 1 2 = (a+b) (a-b),所 以有(a+b) (a-b) = a2 -b2 . 计算后,发现验证 的这个乘法公式为(a+b)(a-b)= a2 -b2 . 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 26 页 3. B 完全平方公式的证明 1. 解:由题意得,方案二:(a+b) 2 = a2 +ab+(a+b) b=a2 +ab+ab+b2 =a2 +2ab+b2; 方案三:(a+b) 2 =a2 +[a +(a+b)]b 2 ×2 = a2 +2ab +b2 . 2. 解:(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 阴影部分可以看作边长为(a-b)的正方形,因 此面积为(a-b) 2,阴影部分也可以看作从边 长为 a 的正方形中,减去两个长为 a,宽为 b 的长方形再加上边长为 b 的正方形,因此阴影 部分面积又可表示为 a2 - 2ab + b2, 所以有 (a-b) 2 =a2 -2ab+b2 . 3. 解:(1)(a+b) 2 　 (a-b) 2 (2)S正方形ABCD = S正方形MNPQ +8S􀳑DEH . 所以(a+b) 2 = (a-b) 2 + 1 2 ab×8 所以(a+b) 2 = (a-b) 2 +4ab. 所以(a+b) 2,ab,(a-b) 2 三者之间等量关系为 (a+b) 2 = (a-b) 2 +4ab; (3)S正方形EFGH = (a+b) 2 - 1 2 ab×4 = (a+b) 2 -2ab = 52 -2×4 = 17. 4. B 第三周 1. C 2. A　 【解析】(4a2 -6ab+2a)÷2a = 2a-3b+1. 故 选 A. 3. A　 【解析】■ = (6ab-3ab3) ÷3ab = 6ab÷3ab- 3ab3 ÷3ab= 2-b2 . 故选 A. 4. D　 【解析】依题意,得(17x2 -3x+4)-(ax2 +bx +c)= 5x(2x+1),所以(17-a)x2 +(-3-b)x+(4 -c)= 10x2 +5x,所以 17-a= 10,-3-b= 5,4-c= 0,解得 a= 7,b= -8,c= 4,则 a-b+c= 7+8+4 = 19. 故选 D. 5. A　 【解析】由题意,得 3-n= 1,m-2 = 2,解得 n = 2,m= 4. 故选 A. 6. 8 7. 4x2 +1　 【解析】(2x⊕y)÷y=[(2x) 2·y+y]÷y =(4x2y+y)÷y= 4x2 +1. 8. 3x4 -9x3 　 【解析】由题意可知:A÷3x2 = x2 -3x- 1,所以 A=(x2 -3x-1)·3x2 = 3x4 -9x3 -3x2,所 以 A+3x2 = 3x4 -9x3 -3x2 +3x2 = 3x4 -9x3 . 9. 解:(1)(a+b)(a-b)= a2 -b2(答案不唯一) (2)一 (3)原式= [4x2 -y2 -(4x2 -12xy+9y2)] ÷( -2y) = (4x2 -y2 -4x2 +12xy-9y2) ÷( -2y)= (12xy-10 y2) ÷( -2y)= -6x+5y, 当 x= 1,y= -2 时,原式= -6×1+5×( -2)= -6- 10 = -16. 10. 解:根据题意得:( 5ax·3ax) ÷( x·30x) = 15a2x2 ÷30x2 = 1 2 a2,当 a = 4 时,原式 = 8,则 应该至少购买 1 2 a2 块这样的塑料扣板,当 a = 4 时,扣板数为 8 张. 第四周 1. C　 2. C 3. B　 【解析】直线 a、b、c 的位置关系如下图: 　 　 由上图可知:平面内三条直线的交点个数可 以是 0,1,2 或者 3. 故选 B. 4. D　 【解析】因为 EO⊥AB,所以∠AOE = 90°, 又因为∠EOC = 35°,所以∠AOC = 90°- 35° = 55°,所以∠AOD= 180°-55°= 125°. 故选 D. 5. D　 【解析】因为∠AOC = 80°,所以∠DOB = 80°,∠AOD= 100°. 因为∠BOE ∶∠EOD = 3 ∶2, 所以∠DOE= 80°× 2 5 = 32°,所以∠AOE = 100° +32°= 132°. 故选 D. 6. 30° 7. 70　 【解析】因为 OE 平分∠AOD,所以∠AOD = 2∠AOE= 2×55° = 110°,所以∠BOD = 180°- 110°= 70°. 8. 解:( 1) 因为 OB 是∠AOC 的平分线,OD 是 ∠COE 的平分线,所以∠AOB = ∠BOC = 46°, ∠DOE = ∠DOC = 37°,所以∠BOD = ∠BOC+ ∠DOC= 46°+37°= 83°; (2)由题意可知:∠AOD+∠BOD = 180°. 因为 OD 是∠COE 的平分线, ∠DOE = 24°,所以 ∠COD= ∠DOE = 24°,设∠AOB = x. 因为 OB 是∠AOC 的平分线,所以∠AOC = 2x,∠BOC = x,所以 ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 2x + 24°, ∠BOD= ∠BOC+∠DOC= x+24°. 因为∠AOD+ ∠BOD= 180°,所以 2x+24°+x+24° = 180°,解 得 x= 44°,所以∠AOC= 2×44°= 88°. 9. 解:(1)因为 OM⊥AB,所以∠AOM= 90°,因为 ∠1 = 40°,所以∠AOC= ∠AOM-∠1 = 90°-40° = 50°,所以∠NOD= 180°-∠AOC-∠2 = 180°- 50°-30°= 100°; (2)∠1 = ∠2,理由如下:如果 ON 与 CD 互相 垂直,则∠CON = 90°,所以∠COA+∠2 = 90°, 因为 OM⊥AB,所以∠AOM = 90°,所以∠COA +∠1 = 90°,所以∠1 = ∠2. 第五周 1. C 2. C　 【解析】因为∠1 = ∠3,∠1 = 55°,所以∠3 = ∠1 = 55°. 因为∠2 = 55°,所以∠2 = ∠3,所 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 27 页 以 AB∥CD. 故选 C. 3. C　 【解析】因为 a⊥b,b⊥c,所以 a∥c,因为 c ⊥d,所以 a⊥d. 故选 C. 4. A　 【解析】B. 因为∠1 = ∠4,所以 l1∥l2(内错 角相等,两直线平行); C. 因为 ∠2 + ∠3 = 180°,所以 l1 ∥l2 (同旁内角互补,两直线平 行);D. 因为∠3 = ∠5,所以 l1∥l2(同位角相 等,两直线平行) . 故选 A. 5. B 6. C　 【解析】当∠1 = ∠2 时,DE∥BC,故②不满 足题意;①③④都可以判定 AB∥EF. 故选 C. 7. 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条 直线平行 8. ∠B= ∠BOD(答案不唯一) 9. ③⑤　 【解析】因为∠C = 60°,∠ABC = 120°, 所以∠C+∠ABC= 180°,所以 AB∥CD. 10. ①④⑤　 【解析】①因为∠1 = 25. 5°,∠2 = 55°30′,∠ABC= 30°,所以∠ABC+∠1 = 55. 5° = 55°30′ = ∠2,所以 m∥n;④过点 C 向左作 CE∥m,所以∠3 = ∠ACE. 因为∠ACB = ∠1+ ∠3, ∠ACB = ∠ACE + ∠ECB, 所 以 ∠1 = ∠ECB,所 以 EC∥n, 所 以 m∥n; ⑤ 因 为 ∠ABC= ∠2-∠1,所以∠2 = ∠ABC+∠1,所 以 m∥n;综上,能判断直线 m∥n 的有①④ ⑤. 11. 90　 90　 ∠1　 ∠4　 等角的余角相等 同位角相等,两直线平行 12. 解:延长 AE 交 DC 于 M. 因为∠AED = 90°, ∠EDC = 55°, 所以 ∠DEM = 90°, ∠AMD = ∠180°-∠DEM-∠EDC = 35°. 因为∠BAE = 35°,所以∠BAE= ∠AMD,所以 AB∥DC. 13. 解:c∥d. 理由如下:因为∠2+∠5 = ∠3+∠6 = 180°,∠2 = ∠3,所以∠5 = ∠6. 因为∠1 = ∠4,所以∠1+∠5 = ∠4+∠6,所以 c∥d. 14. 解: 因 为 CE ⊥ CD, 所以∠DCE = 90°, 又 因为∠ACE = 136°, 所以∠ACD = 360° - ∠ACE - ∠DCE = 360° - 136° - 90° = 134°, 因为∠BAF = 46°,所以∠BAC = 180°-∠BAF = 180° - 46° = 134°, 所以∠ACD = ∠BAC, 所以 CD∥AB. 第六周 1. B　 【解析】∠1 = 180°-∠A= 180°-80° = 100°. 故选 B. 2. B　 【解析】因为 AB∥CD,所以∠CAB = 180°- ∠ACD= 180°-50° = 130°. 因为 AD⊥AC,所以 ∠CAD = 90°,所以 ∠BAD = ∠CAB - ∠CAD = 130°-90°= 40°. 故选 B. 3. A　 【解析】因为 AD∥BC,所以∠ADE = ∠DEC = 60°. 因为 BD 平分∠ADE,所以∠ADB = 1 2 ∠ADE= 30°. 因为 AD∥BC,所以∠B = ∠ADB = 30°. 故选 A. 4. D　 【解析】由作图可知∠ACH = ∠B,A 正确; 因为∠A + ∠ACH + ∠AHC = 180°,∠A + ∠B + ∠ACB= 180°,所以∠AHC= ∠ACB,B 正确;因 为 180°-∠CHB = 180°-(∠A+∠ACH),所以 ∠CHB= ∠A+∠ACH,所以∠CHB = ∠A+∠B, C 正确;无法求得∠CHB= ∠HCB. 故选 D. 5. C　 【解析】过点 C 向左作 CH∥AB,所以∠B+ ∠BCH= 180°,又因为∠ABC+∠BCD+∠CDE = 360°,所以∠D + ∠DCH = 180°,所以 CH∥ DE,所以 AB∥DE,所以∠1 = ∠FGD = 120°, 所以∠2 = 180°-120°= 60°. 故选 C. 6. 90°　 【解析】过点 C 向左作 CE∥m,因为 m∥ n,所以 CE∥n, 所以∠ACE = α, ∠ECB = β, 因为∠ACE+∠ECB= 90°,所以 α+β= 90°. 7. 32° 8. 相等 　 【解析】因为 DE∥OB,所以∠2 = ∠3, 因为∠1 = ∠3,所以∠1 = ∠2. 9. 70　 【解析】由题意,得∠DBA = 30°,∠CBD = 80°,所以∠ABC = 80° - 30° = 50°. 因为 DB∥ CE,所以∠DBC+∠BCE = 180°,所以∠BCE = 100°;因为 ∠ECA = 40°,所以∠BCA = 100° - 40°= 60°,所以∠BAC= 180°-∠ABC-∠ACB = 180°-50°-60°= 70°. 即从 A 岛看 B、C 两岛的 视角∠BAC 是 70°. 10. 77° 　 【解析】因为∠1 = 46°,所以入射角 = 44°. 因为入射角与折射角之比为 4 ∶3,所以 折射 角 = 33°, 所以∠2 = 90° - 33° = 57°. 因为 AB∥CD,所以∠5 = 180° - ∠2 = 123°. 因为 AC∥BD,所以∠3 = ∠5 = 123°. 因为 AE ∥BF,所以∠1 = ∠6 = 46°. 因 为 EF∥AB, 所以∠4 = ∠6 = 46°,所以∠3 - ∠4 = 123° - 46°= 77°. 11. 解:如图,∠MPN 即为所求. 　 12. ∠CBA　 35　 两直线平行,内错角相等　 110 　 ∠ACD　 两直线平行,同旁内角互补　 70 13. 解: ( 1 ) 因 为 ∠CMG = ∠FMN, ∠ENC + ∠CMG = 180°,所以∠ENC+∠FMN = 180°. 所以 ED∥FG,所以∠2 = ∠D,又因为 AB∥ CD,所以∠3 = ∠D,所以∠2 = ∠3; (2)因为 AB∥CD,所以∠1 = ∠B,在△ABC 中,∠A + ∠B + ∠ACB = 180°. 又因为∠A = ∠1+60°且∠ACB = 50°,所以∠1+60°+∠1+ 50° = 180°,所以∠1 = 35°,所以∠B = ∠1 = 35°. 14. 解:(1)60° (2)设 A 灯转动 t 秒,两灯的光束互相平行, ①当灯 A 射线到达 AN 前,如图 1,因为 PQ∥ MN,所以∠PBD= ∠BDA,因为 AC∥BD,所以 ∠CAM = ∠BDA,所以∠CAM = ∠PBD,所以 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 28 页 图 1 2t= 1·(30+t),解得 t = 30; ②当灯 A 射线到达 AN 后开 始返回,如图 2,因为 PQ∥ MN,所以∠PBD + ∠BDA = 180°, 因为 AC∥BD, 所以 图 2 ∠CAN = ∠BDA, 所 以 ∠PBD+∠CAN= 180°,所以 1· ( 30 + t) + ( 2t - 180) = 180,解得 t = 110, 综上所 述,A 灯转动 30 秒或 110 秒时,两灯的光束互相平行. 平行线中的拐点问题 1. C　 【解析】如图,作 c∥a,因为 三角尺是含 30°角的三角尺, 所以∠3+∠4 = 60°,因为 a∥c, 所以∠1 = ∠4 = 24°,所以∠3 = 60°-24° = 36°. 因为 a∥c,a∥b,所以 b∥c, 所以∠2 = 180°-36°= 144°. 故选 C. 2. 解:理由:作 EF∥AB,则有 EF∥CD. 因为∠1+ ∠BAE= 180°,∠2+∠DCE = 180°,所以∠BAE +∠AEC+∠DCE = ∠BAE+∠1+∠2+∠DCE = 180°+180°= 360°. 3. 解:分别过点 B,C 向左作 MB∥l1,CN∥l2 . 因为 l1∥l2,所以 l1∥l2∥MB∥CN,所以∠1 = ∠MBA, ∠2 = ∠DCN,∠MBA+∠ABE = ∠MBE,∠DCN + ∠DCF = ∠FCN, 所以 ∠1 + ∠2 + ∠ABE + ∠DCF= ∠MBE+∠FCN. 因为 MB∥CN,所以 ∠MBE+∠FCN= 180°,所以∠1+∠2+∠ABE+ ∠DCF= 180°. 4. 解:如图过点 E 向左作 EM∥AB,过点 F 向右 作 FN∥CD. 因为 AB∥CD,所以 AB∥EM∥FN∥ CD,所以∠1 = ∠GEM = 40°,∠MEF = ∠EFN, ∠2 = ∠NFH = 50°,所以∠EFN = ∠3 -∠NFH = 65°- 50° = 15°,所以∠FEM = ∠EFN = 15°, 所以∠4 = ∠GEM+∠MEF= 40°+15°= 55°. 5. 解:过点 F 向右作 FH∥AB,过点 G 向左作 MG ∥CD. 因为∠EKB = 50°,FH∥AB. 所以∠EFH = 50°. 因为∠EFG = 80°,所以∠GFH = 30°. 因 为 MG∥CD,∠GCD = 20°,所以∠MGC = 20°. 因为∠FGC = 50°,所以∠MGF = ∠GFH = 30°, 所以 FH∥MG,所以 AB∥CD. 6. 解:(1)70　 ∠APB= ∠PAC+∠PBD　 【解析】 过点 P 向左作 PE∥l1,所以∠APE = ∠PAC. 又 因为 l1∥l2,所以 PE∥l2,所以∠BPE = ∠PBD, 所 以 ∠APE + ∠BPE = ∠PAC + ∠PBD, 即 ∠APB = ∠PAC + ∠PBD. 因为 ∠PAC = 20°, ∠PBD= 50°,所以∠APB= 20°+50°= 70°; (2)(n-m)　 【解析】过点 P 向左作 PE∥l1,所 以∠APE= ∠PAC. 又因为 l1∥l2,所以 PE∥l2, 所以 ∠BPE = ∠PBD,所以 ∠APB = ∠BPE - ∠APE,即∠APB= ∠PBD-∠PAC. 因为∠PAC =m°,∠PBD=n°,所以∠APB=(n-m)°; (3)∠PAC= ∠PBD+∠APB. 理由如下:过点 P 向左作 PE∥l1,所以∠APE = ∠PAC. 又因为 l1 ∥l2,所以 PE∥l2,所以∠BPE = ∠PBD. 因为 ∠BPE+∠APB= ∠APE,所以∠PAC = ∠PBD+ ∠APB. 7. 解:( 1) 过点 O 向左作 OP∥AB,则∠EOP = ∠BEO. 因为 OP∥AB,AB∥CD,所以 OP∥CD, 所以∠FOP = ∠DFO,所以∠EOF = ∠EOP + ∠FOP= ∠BEO+∠DFO; (2)因为 OE⊥OF,所以∠EOF = 90°,由(1)知 ∠BEO+∠DFO= 90°,∠G= ∠BEG+∠DFG. 因 为 EG、FG 分别平分∠BEO 和∠DFO,所以 ∠G= ∠BEG+∠DFG = 1 2 ( ∠BEO+∠DFO) = 1 2 ∠EOF= 1 2 ×90°= 45°. (3)设∠BEO 的度数为 x,则∠DFO 的度数为 α-x,由(1)(2)得,∠M=∠BEM+∠DFM= 1 2 x+ α-x,∠N= ∠BEN+∠DFN= x+ 1 2 (α-x),∠M+ ∠N= 3 2 α. 第七周 1. C　 【解析】单价是常量,数量和金额是变量. 故 选 C. 2. A 3. A　 【解析】电饭锅的销量是随着销售定价的 变化而变化的,所以定价是自变量,销量是因 变量;当定价为 110 元时,销量为 100 个;销量 开始时随着定价的升高而变大,但随后随着 定价的继续升高而变小. 故选 A. 4. B　 【解析】依题意得下雨时进水速度大于排 水速度,排水渠中水位高度 h 随着时间的增 加而增大;暴雨停歇后,排水渠中水位高度 h 随着时间的增加而减小,由此可知函数图象 是先上升再下降;排水速度为 5v,进水速度为 7v,下雨时 5v<7v,排水渠实际进水速度为:2v; 暴雨停歇后,排水速度不变,进水速度为 0,实 际排水速度为:5v,故将水排干所需的时间比 进水时间要少. 故选 B. 5. D 6. C　 【解析】由图可知,海拔越高,大气压越小, A 错误;海拔为 7 千米时,大气压约为 34 千 帕,B 错误;大气压为 70 千帕时,海拔高度约 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 29 页 为 2. 5 千米,此时空气中的含氧量约为 20. 95%-2500 100 ×0. 16% = 16. 95%,因为 18%>16. 95%> 10%,所以此时含氧量属于缺氧,故 C 正确;大气压为 60 千帕时,海拔高度约为 3. 5 千米,此时空气中的含氧量约为 20. 95% - 3500 100 ×0. 16% = 15. 35%,由于 18%>15. 35%> 10%,此时含氧量属于缺氧,故 D 错误. 故选 C. 7. B　 【解析】①图中加油时间为 25 至 35 分钟, 共 10 分钟,正确;②因为 OA∥BC,所以 OA 段 和 BC 段的速度相等,即 a 25 = 60-a 55-35 ,解得 a = 100 3 ,所以加满油以后的速度为(60-100 3 ) ÷20 60 = 80(千米 / 小时),正确;③由题意可知,60 -a 20 60 = 90,解得 a= 30,错误;④该同学 8:55 到达大 钊纪念馆,正确. 所以正确的有 3 个. 故选 B. 8. 42 9. y= 21x+2　 【解析】每张长方形白纸的长度是 23cm,x 张应是 23xcm,由图中可以看出 4 张 白纸之间有 3 个粘合部分,那么 x 张白纸之间 有(x-1)个粘合,所以 y 与 x 的关系式为:y = 23x-(x-1)×2 = 21x+2. 10. ①②④　 【解析】由图象可得,20 时风力最 小,①错误;在 8 时至 12 时,风力最大为 4 级,②错误;在这 12 小时内,风力最大超过 7 级,③正确;8 时至 11 时,风力不断增大,11 至 12 时,风力在不断减小,在 12 至 14 时,风 力不断增大,④错误;所以说法不正确的有 ①②④. 11. 解:(1)行驶的路程 s　 油箱剩余油量 Q (2)50　 8 (3)Q= -0. 08s+50 (4)320　 【解析】当 Q= 24. 4L 时,-0. 08s+50 = 24. 4,解得 s= 320. 12. 解:(1)5900　 (2)8 (3)600　 【解析】 (5900-3500) ÷(28-24)= 600(米 / 分); (4)8500　 【解析】5900+ 2×(4800- 3500)= 8500(米) . 期中测前题组训练 选填题 1. B　 【解析】A. a-3 = 1 a3 ;C. ( 1 2 ab2) 3 = 1 8 a3b6;D. (3a-b) 2 = 9a2 +b2 -6ab. 故选 B. 2. D　 【解析】A. 30°角的补角度数是 150°;B. 两 条直线被第三条直线所截,所得的同位角不 一定相等;C. 相等的两个角不一定是对顶角. 故选 D. 3. A 4. C　 【解析】A. (m-n)(-m-n)= n2 -m2;B. (-1 +mn)(1+mn)= m2n2 -1;C. (-m+n)(m-n)= -(m-n) 2 = -m2 +2mn-n2;D. (2m-3)(2m+3) = 4m2 -9. 故选 C. 5. B 6. A　 【解析】因为 2m = 3,2n = 4,所以 23m-2n = 23m ÷22n = 2m( ) 3 ÷ 2n( ) 2 = 33 ÷42 = 27 16 . 故选 A. 7. B　 【解析】A. 因为 AD∥BC,所以∠2 = ∠3,又 因为∠1 = ∠3,所以∠1 = ∠2,则 BD 是∠ABC 的平分线;C. ∠3+∠4+∠C = 180°,即∠ADC+ ∠C= 180°,则 AD∥BC;D. 内错角∠2 = ∠3,则 AD∥BC. 故选 B. 8. A 9. B　 【解析】由题意得:∠EFP = 90°,∠FEP = 45°. 因 为 CD∥AB, 所 以 ∠DFE + ∠FEB = 180°,所以∠1+∠2 = 180°-90°-45° = 45°. 因 为∠1 = 28°,所以∠2 = 45°-28°= 17°. 故选 B. 10. B　 【解析】因为 4x2 +9y2 +m 是完全平方式, 所以 m = ± 2 × 3y·2x,解得 m = ± 12xy. 故选 B. 11. B　 【解析】 (2x- 5) ( x+m)= 2x2 + 2mx- 5x- 5m= 2x2 +(2m-5)x-5m,因为(2x-5)(x+m) = 2x2 -3x+n,所以 2m-5 = -3,-5m = n,解得 m= 1,n= -5. 故选 B. 12. C　 【解析】因为 AB∥CD,所以∠C = ∠B,因 为 BC∥DE,所以∠C+∠D = 180°,所以∠B+ ∠D= 180°. 故选 C. 13. C　 【解析】由题知,阴影部分的面积 = 1 2 a2 - 1 2 (a-b) b = 1 2 a2 - 1 2 ab+ 1 2 b2 = 1 2 (a+b) 2 - 3 2 ab,因为 a+b = 8,ab = 12,所以阴影部分的面 积为 1 2 (a+b) 2 - 3 2 ab = 1 2 ×82 - 3 2 ×12 = 14. 故 选 C. 14. 6. 9×10-7 　 【解析】0. 00000069 = 6. 9×10-7 . 15. 5 16. 垂线段最短 17. 60　 【解析】设这个角为 x,由题意得,180°-x = 2x,解得 x= 60°,则这个角是 60°. 18. 214 　 【解析】原式=(2-1)×(2+1)×(22 +1)× (24 +1)+(27 -1) 2 =(22 -1)×(22 +1)×(24 +1) +214 -2×27 ×1+12 = 214 . 19. 15 20. 90°或 30°　 【解析】如果射线 OC 在射线 OB 的上方,∠BOC = ∠AOB+∠AOC = 30°+60° = 90°,如 果 射 线 OC 在 OB 下 方, ∠BOC = ∠AOC-∠AOB = 60° - 30° = 30°. 综上所述, 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 30 页 ∠BOC 的度数为 90°或 30°. 21. 125°　 【解析】因为 GM⊥GE,所以∠EGM = 90°,因为∠BGM= 20°,所以∠EGB= ∠EGM- ∠BGM = 70°,所以∠AGH = ∠EGB = 70°,因 为 AB∥CD,所以∠AGH+∠CHG = 180°,所以 ∠CHG = 110°,因为 HN 平分 ∠CHE,所以 ∠NHC = 1 2 ∠CHG = 1 2 × 110° = 55°, 所 以 ∠NHD= 180°-∠CHN= 180°-55°= 125°. 22. ①②④　 【解析】①乙在 28 分时到达,甲在 40 分时到达,所以乙比甲提前了 12 分钟到 达,正确;②甲的平均速度 = 10÷ 40 60 = 15(千 米 / 时),正确;④设乙出发 x 分钟后追上甲, 则有: 10 28-18 ×x = 10 40 ×(18 +x),解得 x = 6,正 确;③由④知:乙第一次遇到甲时,所走的距 离为:6 × 10 28-18 = 6(km),错误;所以正确的 结论有三个:①②④. 23. x2 - 1 = ( x+ 1) ( x- 1) 　 【解析】图 1 的面积 为:x2 - 1,拼成的图 2 的面积为:( x+ 1) ( x- 1),所以 x2 -1 =(x+1)(x-1) . 期中测前题组训练 解答题 1. 解:(1)原式= 1+4+1 = 6; (2)原式= x6 +x6 -2x6 = 0. 2. 解:原式 = [( x2 + 4xy+ 4y2 ) -( x2 - 4xy+ 4y2 ) - (x2 -4y2) - 4y2 ] ÷ 2x = ( x2 + 4xy+ 4y2 -x2 + 4xy- 4y2 -x2 +4y2 -4y2) ÷2x= ( -x2 +8xy) ÷2x= - 1 2 x+ 4y,当 x= -2,y= 1 2 时,原式= - 1 2 ×( -2) +4× 1 2 = 1+2 = 3. 3. 解:小强说的有道理. 理由如下:[( x2 -y2 ) - (x-y) 2 +2y(x-1)] ÷4y= [x2 -y2 -(x2 -2xy+y2 ) +2xy-2y] ÷4y= (x2 -y2 -x2 +2xy-y2 +2xy-2y) ÷ 4y= ( 4xy - 2y - 2y2 ) ÷ 4y = x - 1 2 - 1 2 y. 当 x = 2022,y= 2023 时,原式 = 2022- 1 2 - 1 2 ×2023 = 1010. 由于化简结果中含字母 x、y,故原代数 式的值与 x、y 的取值有关,故小强说得有道 理. 4. 解:因为直线 AB,CD 相交于点 O, ∠AOD = 56°,所以∠BOC = 56°. 因为 OE 平分∠BOC, 所以∠BOE = ∠EOC = 28°. 因为 OF⊥OE,所 以∠EOF= 90°,所以∠COF= 90°-28°= 62°. 5. 解:EF　 同旁内角互补,两直线平行　 AD　 BC　 平行于同一条直线的两直线平行 6. 解:(1) t　 s (2)2　 6 (3)设 t 秒时,小明第一次追上朱老师,根据题 意得 6t= 200 + 2t,解得 t = 50s,则 50 × 6 = 300 (米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明 距起点的距离为 300 米. 7. 解:(1)(b-a) 2 (2)(a+b) 2 -(a-b) 2 = 4ab (3)25 (4)(3a+b)(a+b)= 3a2 +4ab+b2 (5)如图: 8. 解:【阅读探究】∠EMF= ∠AEM+∠CFM 【方法运用】过点 M 向左作 MN∥AB,因为 AB ∥CD,所以 MN∥CD,所以∠EMN = ∠BEM, ∠FMN= ∠DFM. 因为∠BEM = 180°-∠AEM, ∠DFM= 180°-∠CFM,所以∠EMF = ∠EMN+ ∠FMN= 180°-∠AEM+180°-∠CFM = 360°- ∠AEM - ∠CFM, 所 以 ∠AEM、 ∠EMF 和 ∠CFM 之间的数量关系为: ∠EMF = 360° - ∠AEM-∠CFM; 【应用拓展】 因为 EP、FP 分别是∠AEM 和 ∠CFM 的平分线, 所以 ∠AEP = 1 2 ∠AEM, ∠CFP= 1 2 ∠CFM,过点 P 向右作 PH∥AB,因 为 AB∥CD, 所以 PH∥CD, 所以 ∠EPH = ∠AEP,∠FPH= ∠CFP,所以∠EPF = ∠EPH+ ∠FPH= ∠AEP+∠CFP = 1 2 ∠AEM+ 1 2 ∠CFM = 1 2 ( ∠AEM + ∠CFM), 由 【方法运用】 得: ∠EMF= 360°-∠AEM-∠CFM,所以∠AEM+ ∠CFM= 360°-∠EMF= 360°-60°= 300°,所以 1 2 ( ∠AEM+ ∠CFM) = 1 2 × 300° = 150°,所以 ∠EPF= 150°. 第八周 1. D 2. D　 【解析】图中被木板遮住的三角形有可能 是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 故 选 D. 3. B　 【解析】①从直线外一点到这条直线的垂 线段的长度叫做这个点到这条直线的距离, 说法错误;②三角形的角平分线是线段,说法 错误;③三角形的三条高所在的直线交于一 点,这一点在三角形内或在三角形外或在三 角形的一边上,说法错误;④⑤说法正确. 故 选 B. 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 31 页 4. C 5. A　 【解析】能够完全重合的两个图形叫做全 等形,即形状和大小相同的两个图形是全等 形,故①②说法错误;③说法正确;若△ABC≌ △DEF,∠A 的对应角为∠D,所以∠A = ∠D, AB 的对应边为 DE,所以 AB = DE,④说法错 误;说法正确的有③,共 1 个. 故选 A. 6. D 7. C　 【解析】因为△ABC≌△CDE,AB = CD,所 以∠ACB = ∠CED,AC = CE,∠BAC = ∠ECD, ∠B = ∠D,所以 C 选项∠ACB = ∠ECD 是错 的. 故选 C. 8. B　 【解析】因为∠B = 60°,∠ACB = 30°,所以 ∠BAC = 180° - 60° - 30° = 90°, 因 为 AD 是 ∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠DAC = 45°, 因为 AD∥CE,所以∠ACE = ∠DAC = 45°. 故选 B. 9. C　 【解析】因为△BMN 沿 MN 折叠,使点 B 落在点 B′处,所以 △BMN ≌ △B′MN,所以 ∠BMN = ∠B′MN,因为 ∠B = 35°,∠BNM = 28°,所 以 ∠BMN = 180° - 35° - 28° = 117°, ∠AMN = 180° - ∠BMN = 63°,所以 ∠AMB′ = 117°-63°= 54°. 故选 C. 10. 7　 【解析】由题意,得 a-7 = 0,b-1 = 0,解得 a= 7,b= 1,因为 7-1 = 6,7+1 = 8,所以 6<c< 8. 又因为 c 为奇数,所以 c= 7. 11. 75　 【解析】因为∠C = 90°,所以∠A+∠B = 90°,因为∠A-∠B = 60°,所以 2∠A = 150°, 所以∠A= 75°. 12. 14　 【解析】因为 BD 是△ABC 的中线,即点 D 是线段 AC 的中点,所以 AD =CD,因为 AB = 7,△ABD 的周长为 16,所以 AB+BD+AD = 16,即 7+BD+AD = 16,解得 BD+AD = 9,所以 BD+CD = 9,则△BCD 的周长是 BC+BD+CD = 5+9 = 14. 13. 85°　 【解析】因为 AD 平分∠BAC,BE 是高, ∠BAC = 50°,所以 ∠BAD = 1 2 ∠BAC = 25°, ∠ABE= 40°. 因为∠EBC = 20°,所以∠ADB = 180°-25°-40°-20° = 95°,所以∠ADC = 180° -95°= 85°. 14. 解:( 1) 因为∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - (180°-∠BAD-∠B) = 105°,∠DAE = ∠BAC -∠BAD= 180°-∠B-∠C-∠BAD= 30°,所以 ∠ADE= ∠AED= 75°,所以∠CDE= 105°-75° = 30°; (2)∠BAD= 2∠CDE　 【解析】设∠BAD = x, 所以∠ADC = 180° - ∠ADB = ∠BAD + ∠B = 45°+x,∠DAE = ∠BAC-∠BAD = 180°-∠B- ∠C-∠BAD = 90°-x,所以∠ADE = ∠AED = 90°+x 2 ,所以∠CDE = 45°+x- 90° +x 2 = 1 2 x,所 以∠BAD= 2∠CDE. 15. 解:AD 是△ABC 的角平分线. 理由:因为 DE ∥AC,DF∥AB,所以∠ADE = ∠DAF,∠ADF = ∠EAD,又因为∠ADE= ∠ADF,所以∠DAF = ∠EAD,又因为∠DAF+∠EAD = ∠BAC,所以 AD 是∠BAC 的平分线. 即 AD 是△ABC 的角 平分线. 16. 解:(1)因为∠B = 38°,∠C = 64°,所以∠BAC = 78°,因为 AD 平分 ∠BAC,所以 ∠BAD = ∠CAD= 39°,所以∠ADE= 180°-(180°-38°- 39°)= 77°,因为 AE⊥BC,所以∠AEB = 90°, 所以∠DAE= 90°-∠ADE= 13°. (2)因为∠B=α,∠C = β,所以∠BAC = 180°- α - β, 因为 AD 平分 ∠BAC, 所以 ∠BAD = ∠CAD= 90°- 1 2 (α+β),所以∠ADE = 180°- (180°-∠B-∠BAD)= ∠B+∠BAD = α+90°- 1 2 (α+β),因为 FE⊥BC,所以∠FEB = 90°, 所以∠DFE= 90°-∠ADE= 1 2 (β-α) . 第九周 1. B 2. B　 【解析】在△ABC 与△DEF 中, ∠A= ∠D AC=DF ∠2 = ∠1 ì î í ïï ï , 所以△ABC≌△DEF(ASA) . 故选 B. 3. B　 【解析】因为 BE = CF,所以 BE+EC = EC+ CF,所 以 BC = EF. 在 △ABC 和 △DEF 中, AB=DE AC=DF BC=EF ì î í ïï ï ,所以 △ABC ≌ △DEF ( SSS);所以 ∠D= ∠A = 95°,所以∠F = 180°-∠D-∠DEF = 60°. 故选 B. 4. D　 【解析】如图,由题意得:AC =BD = 2,BC = DE = 1,∠ACB = ∠BDE= 90°,所以∠1+∠BED = 90°, 在 △ABC 和 △BED 中, AC=BD ∠ACB= ∠BDE BC=DE ì î í ïï ï ,所以 △ABC ≌ △BED(SAS),所以 ∠2 = ∠BED,所以 ∠1 + ∠2 = 90°. 故选 D. 5. A 　 【 解 析 】 ① 在 △AEO 与 △ADO 中, AE=AD ∠1 = ∠2 OA=OA ì î í ïï ï ,所以△AEO≌△ADO(SAS);②因 为△AEO≌ △ADO,所以 OE = OD,∠AEO = ∠ADO,所 以 ∠BEO = ∠CDO. 在 △BEO 与 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 32 页 △CDO 中, ∠BEO= ∠CDO OE=OD ∠BOE= ∠COD ì î í ïï ï ,所以 △BEO ≌ △CDO(ASA);③因为△BEO≌△CDO,所以 BE=CD,BO = CO,OE =OD,所以 CE = BD. 在 △BEC 与 △CDB 中, BE=CD ∠BEC= ∠CDB CE=BD ì î í ïï ï ,所以 △BEC≌△CDB(SAS);④在△AEC 与△ADB 中, AE=AD ∠AEC= ∠ADB CE=BD ì î í ïï ï , 则 △AEC ≌ △ADB (SAS);⑤ 因为 △AEC≌ △ADB,所以 AB = AC. 在 △AOB 与 △AOC 中, AB=AC OB=OC OA=OA ì î í ïï ï , 所 以 △AOB≌△AOC(SSS) . 综上所述,图中全等 三角形共 5 对. 故选 A. 6. AO=DO 或 AB=CD 7. 4　 【解析】因为 BA⊥AC,所以∠A = 90°. 因为 CD∥AB,所以∠DCE = 90°. 因为 BC⊥DE,所 以∠DCB + ∠D = 90°. 因为 ∠DCB + ∠BCA = 90°,所以∠BCA= ∠D. 在△ABC 和△CED 中, ∠A= ∠DCE ∠BCA= ∠D BC=ED ì î í ïï ï ,所以△ABC≌△CED(AAS),所 以 AB=CE= 2,AC=CD= 6,所以 AE=AC-CE = 6-2 = 4. 8. 解:中点的定义　 两直线平行,同位角相等　 同位角相等,两直线平行 　 ∠BDF 　 ASA　 全等三角形的对应边相等 9. 解:(1)因为 AF=CD,所以 AF+FC=CD+FC,即 AC=DF.因为 BC∥EF,所以∠ACB = ∠DFE. 在 △ABC 和 △DEF 中, AC=DF ∠ACB=∠DFE BC=EF ì î í ïï ï , 所 以 △ABC≌△DEF(SAS),所以∠A=∠D,所以 AB ∥DE; (2) 因为∠D = ∠A = 20°,∠AFE = 102°,所以 ∠EFD= 180°-102°= 78°,所以∠E= 180°-20°- 78°= 82°. 10. 解: ( 1) 因为 ∠BAC = ∠FAG, 所以 ∠BAC - ∠CAD=∠FAG-∠CAD,所以∠BAD = ∠CAG. 在△ABF 和△ACG 中, ∠BAD=∠CAG AB=AC ∠ABF=∠ACG ì î í ïï ï ,所以 △ABF≌△ACG(ASA); (2)因为△ABF≌△ACG,所以 AF = AG,BF = CG.因为 AB = AC,AD 为∠BAC 的平分线,所 以∠BAD = ∠CAD. 因为∠BAD = ∠CAG,所以 ∠CAD = ∠CAG. 在 △AEF 和 △AEG 中, AF=AG ∠FAE=∠GAE AE=AE ì î í ïï ï ,所以△AEF≌△AEG(SAS), 所以 EF=EG,所以 BE=BF+FE=CG+EG. 11. (1) 解:DE = AD+BE,理由如下:由题意,得 ∠BEC = ∠ADC = 90°,所以∠ACD + ∠CAD = 90°. 因为∠ACB = 90°,所以∠ACD+∠BCE = 90°,所以∠CAD = ∠BCE. 在△ACD 和△CBE 中, ∠ADC= ∠BEC ∠CAD= ∠BCE AC=BC ì î í ïï ï , 所 以 △ACD ≌ △CBE (AAS),所以 AD=CE,CD=BE. 因为 DE =EC +CD,所以 DE=AD+BE; (2) 解: ① 发生改变. 由题意, 得 ∠BEC = ∠ADC= 90°,所以∠ACD+∠CAD = 90°. 因为 ∠ACB= 90°,所以∠ACD+∠BCE = 90°,所以 ∠CAD = ∠BCE. 在 △ACD 和 △CBE 中, ∠ADC= ∠BEC ∠CAD= ∠BCE AC=BC ì î í ïï ï , 所 以 △ACD ≌ △CBE (AAS),所以 AD=CE,CD=BE. 因为 DE =CE -CD,所以 DE=AD-BE; ②由①知:DE = AD-BE,所以 BE = AD-DE = 2. 8-1. 5 = 1. 3,所以 BE 的长为 1. 3. 第十周 1. C　 【解析】由作图痕迹得 OC =OD =O′C′=O′ D′,CD=C′D′,所以△C′O′D′≌△COD(SSS), 所以∠A′O′B′= ∠AOB. 故选 C. 2. D　 3. D 4. B 　 【解析】因为∠CPD = 38°,∠APB = 52°, ∠CDP= ∠ABP = 90°,所以∠DCP = ∠APB = 52°. 在△CPD 和△PAB 中, ∠CDP= ∠ABP DC=PB ∠DCP= ∠APB ì î í ïï ï , 所以△CPD≌△PAB(ASA),所以 DP = AB,因 为 DB = 36m,PB = 9m,所以 AB = 36 - 9 = 27 (m) . 故选 B. 5. D　 【解析】因为 AB= 10m,E 是 AB 边的中点, 所以 BE = 5m. 因为 ∠B = ∠C,且 △BEP 与 △CPQ 全等,所以 BP = CQ,BE = CP 或 CP = BP,BE=CQ,当 BP =CQ,BE =CP 时,因为 BE = 5m,BC= 8m,设运动时间为 t,8-2t = 5,解得 t= 3 2 ,所以 CQ = BP = 2× 3 2 = 3,此时妞妞的运 动速度为:3÷ 3 2 = 2(m / s),当 CP=BP,BE=CQ 时,2t= 8 2 ,t= 2,此时 CQ = 5,妞妞的运动速度 为:5÷2 = 5 2 (m / s) . 故选 D. 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 33 页 6. 15　 【解析】连接 A′B′,因为 AA′、BB′的中点重 合,所以记中点为 O,所以 OA=OA′,OB=OB′. 在△AOB 和△A′OB′中, OA=OA′ ∠AOB= ∠A′OB′ OB=OB′ ì î í ïï ï ,所 以△AOB≌△A′OB′(SAS) . 所以 A′B′= AB. 因 为 A′B′= 15cm,所以 AB= 15cm. 7. 165　 【解析】因为 AB∥PM∥CD,PD⊥CD,所 以 PB⊥AB,所以∠ABP= ∠CDP= 90°,根据题 意可知:相邻两平行线间的距离相等,所以 BP = DP. 在 △ABP 和 △CDP 中, ∠ABP= ∠CDP= 90° BP=DP ∠APB= ∠CPD ì î í ïï ï , 所 以 △ABP ≌ △CDP ASA( ) ,所以 AB=CD= 165 米. 8. 解:如图,△ABC 为所作. 　 9. 解:因为 DE∥AB,所以∠A= ∠E. 在△ABC 和△EDC 中, ∠A= ∠E ∠ACB= ∠ECD BC=DC ì î í ïï ï ,所以 △ABC≌△EDC(AAS),所以 DE=AB. 即 DE 的长就是 A、B 两点之间的距离. 10. 解:法军能命中目标. 理由:由题意可得:AB =PO,∠A = ∠P. 又因为 AB⊥BO,PO⊥BQ,所以∠ABO=∠POQ=90°. 因 为 在 △ABO 和 △POQ 中, ∠A= ∠P AB=PO ∠ABO= ∠POQ ì î í ïï ï , 所 以 △ABO ≌ △POQ (ASA),所以 BO=OQ,因此,按照 BO 的距离 炮轰德军时,炮弹恰好落入德军 Q 处. 11. 解:因为∠CMD = 90°,所以∠CMA+∠DMB = 90°. 因为∠CAM = ∠DBM = 90°,所以∠CMA + ∠ACM = 90°, 所 以 ∠ACM = ∠DMB. 在 △ACM 和△BMD 中, ∠A= ∠B ∠ACM= ∠DMB CM=DM ì î í ïï ï ,所以 △ACM≌△BMD(AAS),所以 AC=BM=3 米,所 以 AM = 12-3 = 9(米),所以他到达点 A 时, 还需要的运动时间为 9÷2 = 4. 5(秒) . 三角形全等的判定 1. 解:因为 AB∥DE,所以∠A = ∠EDF. 在△ABC 和 △DEF 中, ∠A= ∠EDF ∠B= ∠E BC=EF ì î í ïï ï , 所 以 △ABC ≌ △DEF(AAS) . 所以 AC = DF,所以 AC-DC = DF-DC,即 AD=CF. 2. 解: ( 1 ) 在 △AEB 和 △DEC 中, AE=DE ∠AEB= ∠DEC BE=EC ì î í ïï ï , 所 以 △AEB ≌ △DEC (SAS) . (2)因为△AEB≌△DEC,所以 AB =CD,∠B = ∠C. 因为 AB= 5,AO= 4,所以 OB = 9. 因为 AE=DE,BE=CE,所以 BD=AC. 在△ODB 与 △OAC 中 ∠O= ∠O ∠B= ∠C BD=AC ì î í ïï ï ,所以△ODB≌ △OAC (AAS),所以 OB=OC= 9. 3. 解:(1) 因为∠1 = ∠2,则∠1 +∠AED = ∠2 + ∠AED, 所 以 ∠AEC = ∠BED. 在 △AEC 和 △BED 中, ∠A= ∠B AE=BE ∠AEC= ∠BED ì î í ïï ï , 所 以 △AEC ≌ △BED(ASA); (2) 因为△AEC≌ △BED,所以 EC = ED. 在 △EDC 中,因为 EC=ED,∠1 = 40°,所以∠C = ∠EDC= 70°. 4. 解:因为∠BAC = 90°,所以∠BAE + ∠FAC = 90°. 因为 BE⊥ AD,CF⊥ AD,所以 ∠BEA = ∠AFC= 90°,所以∠BAE+ ∠EBA = 90°,所以 ∠EBA = ∠FAC. 在 △ACF 和 △BAE 中, ∠AFC= ∠BEA ∠FAC= ∠EBA AC=BA ì î í ïï ï ,所以△ACF≌△BAE(AAS), 所以 AF=BE. 5. 解: ( 1) ① 因为 ∠ACB = ∠DCE = 90°, 所以 ∠ACB+ ∠BCE = ∠DCE + ∠BCE,即∠ACE = ∠BCD. 在 △ACE 和 △BCD 中, AC=BC ∠ACE= ∠BCD CE=CD ì î í ïï ï , 所 以 △ACE ≌ △BCD (SAS); ② 由 ① 知 △ACE ≌ △BCD, 所 以 ∠CAE = ∠CBD. 因为∠CAE+∠EAB+∠ABC = 90°,所 以∠CBD+∠EAB+∠ABC = 90°,所以∠AFB = 90°,所以 AE⊥BD; (2)60° 　 【解析】因为∠ACB = ∠DCE = 60°, 所以 ∠ACB + ∠BCE = ∠DCE + ∠BCE, 即 ∠ACE= ∠BCD. 因为 CA = CB,CE = CD,所以 △ACE≌△BCD(SAS),所以∠CAE = ∠CBD, 因为 ∠CAE + ∠EAB + ∠ABC = 120°, 所 以 ∠CBD+∠EAB + ∠ABC = 120°,所以∠AFB = ∠ACB= 60°; (3)180°-α　 【解析】因为∠ACB = ∠DCE =α, 所以 ∠ACB + ∠BCE = ∠DCE + ∠BCE, 即 ∠ACE= ∠BCD. 因为 CA = CB,CE = CD,所以 △ACE≌△BCD(SAS) . 所以∠CAE = ∠CBD, 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 34 页 ∠CAE+∠EAB+∠ABC = 180°-α,所以∠CBD + ∠EAB + ∠ABC = 180° - α, 所 以 ∠AFB = ∠ACB=α,所以∠AFD= 180°-α. 6. 解:(1)DE=BD+CE (2) (1)中结论成立,理由如下:因为∠BDA = ∠BAC= α,所以 ∠DBA + ∠BAD = 180° - α = ∠BAD+∠CAE,所以∠DBA= ∠CAE. 在△ADB 和△CEA 中, ∠BDA= ∠CEA ∠ABD= ∠CAE AB=AC ì î í ïï ï ,所以△ADB≌ △CEA(AAS),所以 AE=BD,AD=CE,所以 DE =AE+AD=BD+CE; (3)过点 E 作 EM⊥HO 于点 M,GN⊥HO 的延 长线于点 N,所以∠EMO = ∠GNO = 90°,由 (1)和(2)同理可得△ABH≌△EAM,△ACH≌ △GAN,所以 EM = AH = GN = 2,AM = BH,AN = HC. 在 △EMO 和 △GNO 中, ∠GON= ∠EOM ∠GNO= ∠EMO EM=GN ì î í ïï ï , 所 以 △EMO ≌ △GNO (AAS),所以 OM =ON,S△EOM = S△NGO,所以 BC =BH+HC=AM+AN=AO-OM+AO+ON= 2AO= 8, 则 S△AEG = S△AEO +S△AGO = S△AEM +S△EOM +S△AGN - S△NGO =S△AEM +S△AGN = S△ABH +S△ACH = S△ABC = 1 2 × BC·AH= 8. 第十一周 1. D 2. D　 【解析】因为△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称,所以∠C = ∠C′ = 26°,在△ABC 中,∠B = 180°-∠A-∠C= 180°-54°-26° = 100°. 故选 D. 3. A 　 【解析】 根据题意,由折叠的性质可知 ∠AED= ∠AEF,因为∠AED+∠AEF+∠CEF = 180°,所以∠AED = ∠AEF = 1 2 (180°-∠CEF) = 1 2 ×(180°-56°)= 62°. 故选 A. 4. C 5. D 　 【解析】 根据折叠的性质,得 A1E = AE, A1D1 = AD,D1F = DF. 则阴影部分的周长 = 长 方形的周长= 2×(10+5)= 30. 故选 D. 6. B 　 【解析】如图所示,经 过 6 次反弹后小球回到出 发点 P,因为 2024÷6 = 337 …… 2, 所 以 当 小 球 第 2024 次碰到长方形的边时为第 338 个循环组 的第 2 次反弹,所以第 2024 次碰到长方形的 边时的点为图中的点 B. 故选 B. 7. 8105　 8. 75 9. 10°　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,∠C = 40°,所以∠B = 50°. 由折叠可得,∠AB′D = ∠B= 50°,所以∠BAB′ = 80°,所以 ∠CAB′ = ∠BAC-∠BAB′= 90°-80°= 10°. 10. 24　 【解析】设 BM 与 AC 的交点为点 F,连接 AE. 由折叠的性质得:BD = AB = 12,DF = AF, DE=AE,∠BDF= ∠BAF,所以 CD=BC-BD= 20-12 = 8,所以△CDE 的周长 = CD+DE+CE = 8+AE+CE. 要使△CDE 周长最小,只需 AE +CE 最小,当点 E 与点 F 重合时,AE+CE 取 最小值,最小值为 AC,△CDE 的周长 = 8+AC = 8+16 = 24. 11. 解:相等的线段:AB=AE,CB=DE,CF=DF; 相等的角: ∠B = ∠E, ∠C = ∠D, ∠BAF = ∠EAF,∠AFD= ∠AFC. 12. 解:(1)如图 1,△A′B′C′即为所求. (2)如图 2,直线 l 即为所求的对称轴. 图 1 　 图 2 13. 解:因为△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称,所 以 AB=AD,BC =DE,∠B = ∠D. 又因为 AB = 15,DE = 10,∠D = 70°,所以∠B = 70°,BC = 10,AD= 15. 14. 解:(1)由折叠的性质得:BE = BC = 6cm,DE =DC,所以 AE = AB-BE = AB-BC = 8 - 6 = 2 (cm),所以△AED 的周长 = AD+DE+AE = AD +CD+AE=AC+AE= 5+2 = 7(cm); (2) 由折叠的性质得∠C = ∠DEB = 100°, ∠BDE = ∠CDB. 因为 ∠BED = 100°, 所以 ∠AED= 80°,所以∠ADE = 180°- 50°- 80° = 50°. 所以∠BDE= ∠CDB= 180° -50° 2 = 65°. 15. 解:(1)因为点 M,N 分别是点 P 关于 AO,BO 的对称点, 所以 EM = EP, FP = FN. 因为 △PEF 的周长是 10cm,所以 PE+EF+PF = 10cm,所以 EM + EF + FN = 10cm, 即 MN = 10cm; (2)连接 OP. 因为点 M,N 分别是点 P 关于 AO,BO 的对称点, 所以 ∠AOM = ∠AOP, ∠BON = ∠BOP, 所 以 ∠MON = ∠AOM + ∠AOP+∠BOP+∠BON = 2( ∠AOP+∠BOP) = 2∠AOB= 60°. 第十二周 1. C　 【解析】180°-40°-40°= 100°. 故选 C. 2. B 3. C　 【解析】因为点 P 在线段 AB 的垂直平分 线上,所以 PA = PB = 6,即 PB 的长度为 6. 故 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 35 页 选 C. 4. A 　 【解析】 因为 △ABD 中,AB = AD,∠B = 70°,所以 ∠B = ∠ADB = 70°,所以 ∠ADC = 180°-∠ADB= 110°. 因为 AD = CD,所以∠C = 180°-∠ADC 2 = 35°. 故选 A. 5. B 6. A　 【解析】因为△ABC 是等边三角形,所以 ∠BAC = 60°. 因为 AD ⊥ BC,所以 AD 平分 ∠BAC,所以∠DAC = 30°. 因为 AD = AE,所以 ∠ADE= ∠AED = 180° -30° 2 = 75°,所以∠DEC = 105°. 故选 A. 7. A　 【解析】分为两种情况:①当等腰三角形的 腰为 4cm 时,三角形的三边是 4cm,4cm,9cm, 4+4<9,不符合三角形的三边关系,舍去;②当 等腰三角形的腰为 9cm 时,三角形的三边是 4cm,9cm,9cm,符合三角形的三边关系,三角 形的周长是 4+9+9 = 22(cm) . 故选 A. 8. B 　 【解析】 连接 AP,在 △ABC 中,∠BAC = 50°,所以∠ABC+∠ACB = 180°-50° = 130°. 因 为点 P 是 AB,AC 的垂直平分线的交点,所以 PA = PB = PC,所以∠ABP = ∠BAP,∠ACP = ∠CAP,所以∠PBA+∠PCA = ∠PAB+∠PAC = 50°,所以∠PBC+∠PCB = 130°- 50° = 80°,所 以∠BPC= 180°-80°= 100°. 故选 B. 9. 50° 　 【解析】 因为 DE∥AB,所以 ∠ADE = ∠BAD = 25°. 因为 AB = AC, AD ⊥ BC,所以 ∠BAD= ∠DAC,所以∠BAC= 50°. 10. 3　 【解析】由作法得 MN 垂直平分 BC,所以 DB=DC,所以∠B = ∠BCD,因为∠B+∠A = 90°,∠BCD+∠ACD= 90°,所以∠ACD = ∠A, 所以 DA=DC,所以 CD= 1 2 AB= 3. 11. 3　 【解析】因为△ABC 是等边三角形,所以 AC=BC = AB = 2. 因为 BD 是△ABC 的高线, 所以 D 为 AC 的中点,所以 AD = CD = 1 2 AC. 因为 CE=CD,所以 CE = 1 2 AC = 1,所以 BE = BC+CE= 2+1 = 3. 12. 65°　 【解析】因为 AB = BC,所以∠A = ∠B, 因为∠C = 50°,所以∠A = ∠B = 1 2 ×(180°- 50°)= 65°. 因为 DE⊥AC 于点 E,FD⊥AB 于 点 D,所以∠AED = ∠FDA = 90°,所以∠EDF = 90°-∠EDA= 90°-(180°-90°-65°)= 65°. 13. 60°或 30°　 【解析】因为 AB = AC,∠B = 40°, 所以∠B= ∠C = 40°,所以∠BAC = 180°-∠B -∠C = 100°. 当 DE = DA 时,所以 ∠DAE = ∠DEA= 1 2 (180°-∠ADE)= 70°,所以∠DAC = ∠BAC-∠DAE = 30°;当 EA = ED 时,所以 ∠DAE= ∠ADE = 40°,所以∠DAC = ∠BAC- ∠DAE = 60°;当 DA = AE 时,所以 ∠AED = ∠ADE = 40°, 所以 ∠EAD = 100°, ∠EAD = ∠BAC,此时点 E、D 分别与点 B、C 重合,不 符合题意,舍去. 综上所述:∠DAC 的度数为 60°或 30°. 14. 解:如图,点 P 为所求作的点. 15. 解:如图所示: 　 　 图 3　 　 　 　 图 4 16. 解:(1)因为 AB=AC,∠A= 50°,所以∠ABC= ∠C= 180° -50° 2 = 65°; (2)因为 DE 垂直平分 AB,所以 DA = DB,所 以 DB+DC=DA+DC=AC,又因为 AB=AC= 7, △CBD 周长为 12,所以 BC+BD+CD = 12,即 BC+AC= 12,所以 BC= 12-AC= 12-7 = 5. 17. 解:(1)因为 AD⊥AB,所以∠DAB= 90°,所以 ∠D + ∠ABD = 90°. 因 为 ∠C = 90°, 所 以 ∠CEB+∠CBE = 90°. 因为 BD 平分∠ABC, 所以∠CBE= ∠ABD,所以∠D = ∠CEB. 因为 ∠CEB= ∠AED,所以∠ADE= ∠AED; (2)过点E 作EF⊥AB,垂足为F.因为BD 平分 ∠ABC,EF⊥AB,EC⊥BC,所以 EC=EF=2. 因为 AB= 6,所以 S△ABE = 1 2 AB·EF = 1 2 ×6×2 = 6,所以△ABE 的面积为 6. 等腰三角形的三线合一 1. 解:因为 AB = AC,D 是 BC 边的中点,所以 AD 是∠CAB 的平分线,AD⊥BC. 因为∠CAB = 42°,所以∠CAD = 21°,∠ACB = ∠ABC = 69°. 因为 EF 垂直平分 AC,所以 MA = MC,所以 ∠MCA = ∠MAC = 21°,所以∠MCB = ∠ACB- ∠MCA= 48°. 因为 AD 垂直平分 BC,所以 MC =MB,所以∠MBC = ∠MCB = 48°,所以∠CMB = 180°-∠MBC-∠MCB= 84°. 2. 解:(1)由题意,得∠ACH= ∠BCH,AC =BC,在 △ACP 和 △BCP 中, AC=BC ∠ACH= ∠BCH CP=CP ì î í ïï ï , 所 以 △ACP≌△BCP(SAS),所以∠CAE= ∠CBF; 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 36 页 (2) 在△AEC 和△BFC 中, ∠ACB= ∠BCA AC=BC ∠CAE= ∠CBF ì î í ïï ï , 所以△AEC≌△BFC(ASA),所以 AE=BF. 3. 解:过 A 作 AE⊥BC 于 E,所以∠AEB = 90°,所 以∠BAE + ∠B = 90°. 因为 CD ⊥ AB, 所以 ∠DCB+∠B = 90°,所以∠DCB = ∠BAE. 因为 AB=AC,所以∠BAE = 1 2 ∠BAC,所以∠BAC = 2∠DCB. 4. 解:(1)因为 AD 是边 BC 上的高,所以∠ADC = 90°. 因为 AB=AC,所以 AD 是∠BAC 的平分 线,所以∠BAD = ∠CAD. 因为∠BAD = 30°,所 以∠CAD = 30°. 因为 AD = AE,所以∠ADE = ∠AED= 75°,所以∠EDC= 90°-75°= 15°; (2) ∠BAD = 2∠EDC. 理由:因为 AB = AC,AD = AE,所以∠B = ∠C, ∠ADE = ∠AED. 因为 ∠ADC= 180°-∠ADB = ∠B+∠BAD,∠AED = 180°-∠CED = ∠C+∠EDC,所以∠B+∠BAD = ∠ADC = ∠ADE+∠EDC = ∠AED+∠EDC = ∠C+2∠EDC,所以∠BAD= 2∠EDC. 轴对称中的最值问题 1. C 2. 21 2 　 【解析】连接 AG,AF,因为 DE 是 AC 的垂 直平分线,所以 AF = CF,所以 GF+FC = AF+ FG,当点 F 在 AG 上时,FC+FG 最短,为 AG 的 值. 因为 AB= AC,点 G 为 BC 的中点,所以 AG ⊥BC,因为 BC = 5,△ABC 的面积为 20,所以 AG= 8,所以△FGC 的周长最小值 = FC+FG+ GC=AG+CG= 8+ 5 2 = 21 2 ,所以△FGC 的周长的 最小值为 21 2 . 3. B　 【解析】延长 AB 到 A′使得 BA′ = AB,延长 AD 到 A″使得 DA″=AD,连接 A′A″与 BC、CD 分 别交于点 M、N,连接 AM,AN. 因为∠ABC = ∠ADC= 90°,所以 A、A′关于 BC 对称,A、A″关 于 CD 对称,此时△AMN 的周长最小. 因为 BA = BA′,MB⊥AB,所以 MA = MA′,同理 NA = NA″,所以∠A′ = ∠MAB,∠A″ = ∠NAD. 因为 ∠AMN = 180° - ∠AMA′ = ∠A′ + ∠MAB = 2 ∠A′,∠ANM= 180°-∠ANA″= ∠A″+∠NAD= 2 ∠A″,所以∠AMN+∠ANM= 2(∠A′+∠A″) . 因 为∠BAD = α,所以∠A′+∠A″ = 180°-α,所以 ∠AMN+∠ANM = 2×(180°-α)= 360°-2α,所 以∠MAN= 180°-(360°-2α)= 2α-180°. 故选 B. 4. B　 【解析】连接 CE. 由题意,得 AD 垂直平分 BC,所以 EB=EC. 当 C、F、E 三点共线时,EF+ EC=EF+BE = CF,此时 EB+EF 的值最小. 因 为等边 △ABC 中,F 是 AB 边的中点,AD⊥ BC,所以 CD= 1 2 BC,BF = 1 2 AB,∠C = ∠ABC = 60°,BC = AB = AC,所以 CD = BF,所以△ACD ≌△CBF(SAS),所以 AD = CF = 6,所以 EF+ BE 的最小值为 6. 故选 B. 5. 解:(1)如图,△A′B′C′为所作; (2)如图,点 P 为所作. 6. 解:(1)如图 1,点 E,F 即为所作. 设 PC 与 OA 交于点 G,PD 与 OB 交于点 H. 由作图可得, EC= EP,FP = FD,PC ⊥OA,PD⊥OB,所以 ∠CEG = ∠PEG,∠PFH = ∠DFH,因为∠OEF = ∠CEG,∠OFE = ∠DFH,∠EOF = 40°,所以 ∠CEG + ∠DFH = ∠OEF + ∠OFE = 180° - ∠EOF= 140°,所以∠CEP+∠DFP = 2( ∠CEG +∠DFH)= 280°,所以∠PEF+∠PFE = 360°- 280°= 80°,所以∠EPF= 100°. (2)如图 2,点 E,F 即为所求. 图 1 　 　 　 图 2 第十三周 1. D　 【解析】A. 要反映一个家庭每年用于旅游 的费用占总支出的百分比宜采用扇形统计图; B. 概率很小的事件是随机事件;C. 打开电视 机,正在播放广告是随机事件. 故选 D. 2. D 3. C　 【解析】某天气预报软件显示“仙游明天的 降水概率为 85%”,对这条信息的说法中正确 的是仙游明天下雨的可能性较大. 故选 C. 4. D　 【解析】转动转盘,当指针停止转动时,指 针落在红色区域的概率是 120° 360° = 1 3 . 故选 D. 5. A　 【解析】由图知,空白部分的面积占图案面积 的 2 7 ,即这个点取在空白部分的概率是 2 7 . 故选 A. 6. B　 【解析】P(红豆粽)= 2 2+4 = 1 3 . 故选 B. 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 37 页 7. A　 【解析】P(摸出的球是白球)= 1 3+1 = 1 4 . 故 选 A. 8. C 9. 30　 【解析】由题意可得:次品数量= 600×0. 05= 30. 10. 0. 6　 11. 1 3 　 12. 6 13. 解:(1)0. 951　 0. 95 (2)0. 95 (3)根据题意得,10 000× 0. 95 = 9500(只), 故这批公仔中优等品大约是 9500 只. 14. 解:(1) 2 3 　 【解析】转盘被平均分成 6 等份, 转到每个数字的可能性相等,共有 6 种可能 结果,大于 3 的结果有 4 种,所以转出的数字 大于 3 的概率是 4 6 = 2 3 ; (2)转盘被平均分成 6 等份,转到每个数字 的可能性相等,共有 6 种可能结果,根据三角 形的三边关系,3+4 = 7,4-3 = 1,故第三边为 2,3,4,5,6,共有 5 种,所以这三条线段能构 成三角形的概率是 5 6 . 15. 解:(1)聪聪获胜的概率 = 2 6 = 1 3 ,明明获胜 的概率= 3 6 = 1 2 ; (2)因为 1 3 < 1 2 ,所以明明获胜的概率大,所 以这个游戏不公平;要使游戏公平,规则可 修改为:掷如图所示的小正方体,如果掷到 1 或 2 向上时聪聪胜,掷到 3 向上时明明胜. 期末测前题组训练 选填题 1. B　 2. C 3. C　 【解析】A. (a2) 6 = a12;B. a3 ·a6 = a9;C. (-ab2) 2 =a2b4;D. a4 ÷a1 =a3 . 故选 C. 4. C　 【解析】A 是随机事件;B 是随机事件;C 是必然事件;D 是随机事件. 故选 C. 5. B　 【解析】0. 000000005 = 5×10-9 . 故选 B. 6. C　 【解析】因为 OA⊥OB,所以∠AOB = 90°, 即∠2+∠1 = 90°,所以∠2 = 55°. 故选 C. 7. D　 【解析】因为直线 m∥n,所以∠2 = ∠ABC+ ∠1 = 30°+20°= 50°. 故选 D. 8. D　 【解析】小亮行走过的路程 s(米)应随他 行走的时间 t(分)的增大而增大,A、B 一定错 误;他从家去上学时以每分 30 米的速度行走 了 450 米,所用时间应是 15 分钟,C 错误;行 走了 450 米,为了不迟到,他加快了速度,后面 一段图象陡一些,D 正确. 故选 D. 9. D　 【解析】由拼图可知,图①为长为(a+b), 宽为(a-b)的长方形,因此面积为(a+b) (a- b),图②的面积可以看作边长为 a,边长为 b 的两个正方形的面积差,即 a2 -b2,因此有(a+ b)(a-b)= a2 -b2 . 故选 D. 10. C 　 【解析】 因为 ∠1 = ∠2,所以 ∠CAB = ∠DAE,因为 AC = AD,所以当 AB = AE 时,可 根据“SAS”判定△ABC≌△AED;当 BC = ED 时,不能判定△ABC≌ △AED;当 ∠C = ∠D 时,可根据 “ASA” 判定 △ABC≌ △AED;当 ∠B= ∠E 时,可根据“AAS” 判定 △ABC≌ △AED. 故选 C. 11. D　 【解析】因为 9x2 -kxy+ 49y2 是一个完全 平方式,所以 k= ±2×3×7 = ±42. 故选 D. 12. D　 【解析】当为锐角三角形时,如图 1,因为 ∠ADE= 50°,∠AED = 90°,所以∠A = 40°;当 为钝 角 三 角 形 时, 如 图 2, ∠ADE = 50°, ∠DAE = 40°,所以顶角∠BAC = 180°- 40° = 140°. 故选 D. 图 1 　 图 2 13. D 　 【解析】 连接 BE. 因为 AB = AC,所以 ∠ABC= ∠C,因为 DE 垂直平分线段 AB,所 以∠A = ∠ABE,因为 BF 垂直平分 CE,所以 ∠C= ∠BEC. 因为 180°-∠BEC= 180°-(∠A +∠ABE),所以 ∠BEC = ∠A + ∠ABE,所以 ∠ABC = ∠C = ∠BEC = 2 ∠A. 因 为 ∠A + ∠ABC+∠C= 180°,所以∠A= 36°. 故选 D. 14. D　 【解析】因为点 P 关于 BC 的对称点 P1 落在线段 ED 的延长线上,所以 P1D = PD = 4. 5,因为 DE= 5. 5,所以 P1E=DE+P1D= 10, 因为点 P 关于 AC 的对称点 P2 恰巧落在 ED 上,所以 P2E=PE= 4,所以 P1P2 =P1E-P2E = 10-4 = 6. 故选 D. 15. D　 【解析】从图 2 看,当点 D 在 BC 的中点 时,AD 即为△ABC 的高,且此时 AD = a,则 △ABC 的面积= 1 2 BC×AD= 1 2 ×a×BC = 4a,解 得 BC= 8 =AB. 故选 D. 16. 1 17. 60° 　 【解析】 由 题 意, 得 AB = BE, ∠A = ∠BED= 90°,∠ABD = ∠DBE,因为 E 为 BC 的中点,所以 BE = EC,所以 BD = DC,所以 ∠C= ∠DBE,所以∠C = ∠ABD = ∠DBE,因 为∠C+ ∠ABD+ ∠DBE = 90°,所以∠ABD = 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 38 页 30°,所以∠ADB= 60°. 18. ① ② ③ ④ 　 【解析】 由 作 法 得 AD 平 分 ∠BAC,所以①正确,所以∠BAD = ∠CAD,而 ∠C= 90°,∠B = 30°,所以∠CAB = 60°,所以 ∠CAD= ∠BAD= 30°,所以∠ADC = 90°-30° = 60°;所以②正确,因为∠DAB = ∠B = 30°, 所以 DA=DB,所以点 D 在 AB 的中垂线上, 所以 ③ 正 确, 连 接 DM, DN. 在 △AMD 和 △AND 中, AM=AN ∠DAM= ∠DAN AD=AD ì î í ïï ï ,所以△AMD≌ △AND(SAS),所以 DM=DN,故④正确. 19. 2 或 11　 【解析】因为四边形 ABCD 是长方 形,所以 AB=CD,∠A= ∠B= ∠DCB= 90°,所 以∠B = ∠A = ∠DCE = 90°,当点 F 在 BC 上 时,因为△ABF≌△DCE,所以 BF=CE= 4,所 以 t= 4 2 = 2s,当点 F 在 AD 上时,因为△ABF ≌ △CDE, 所 以 AF = CE = 4, 所 以 t = 10×2+6-4 2 = 11s,综上所述:t= 2 或 11. 期末测前题组训练 解答题 1. 解:(1)原式= 1- 1 4 +9-4 = 5 3 4 . (2)原式 = 6m2n÷( - 3m2 ) - 6m2n2 ÷( - 3m2 ) - 3m2 ÷( -3m2)= -2n+2n2 +1. 2. 解:原式 = a2 - 4b2 +a2 + 4b2 - 4ab- 2a2 - 3ab = -7ab,当 a = 1 7 , b = - 2 023,原式 = - 7 × 1 7 × ( -2 023)= 2 023. 3. 解:(1)如图 1 所示:△A1B1C1 即为所求; (2)S△ABC = 3×5- 1 2 ×3×3- 1 2 ×2×2- 1 2 ×1×5 = 6; (3)如图 2 所示:点 B 即为所求. 图 1 　 图 2 4. 解:(1)900 (2)4 (3)慢车的速度为:900÷12 = 75(千米 /小时), 快车的速度为:900÷4-75 = 225-75 = 150(千 米 /小时) . 答:慢车和快车的速度分别为 75 千米 /小时、150 千米 /小时. 5. 解:(1)100× 2 5 = 40(个) . 答:袋中红球的个数有 40 个; (2)设袋中有白球 x 个,根据题意得 5x+x+40 = 100,解得 x = 10,则白球有 10 个,所以从袋 中摸出一个球是白球的概率是 10 100 = 1 10 . 6. (1)证明:因为 AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于 E, CF⊥AD 于 F,所以 CE = CF,∠CEB = ∠F = 90°,因为∠ADC+∠B= 180°,∠ADC+∠CDF = 180°,所以∠B = ∠CDF. 在△BCE 与△DCF 中, ∠B= ∠CDF ∠CEB= ∠F CE=CF ì î í ïï ï , 所 以 △BCE ≌ △DCF (AAS),所以 BE=DF; (2)解:因为 AD = 3,DF = 1,所以 AF = AD+DF = 4. 在△ACF 与△ACE 中, ∠CAF= ∠CAE ∠F= ∠AEC AC=AC ì î í ïï ï , 所以△ACF≌△ACE(AAS),所以 AF = AE = 4, 因为△BCE≌△DCF,所以 DF = BE = 1,所以 AB=AE+BE= 5. 7. 解:(1) 因为 AB∥CD,所以∠AED+ ∠EDM = 180°.因为∠EDM = 68°,所以∠AED = 112°. 又 因为 EM 平分∠AED,所以∠AEM= ∠MED= 1 2 ∠AED = 56°. 因 为 AB∥CD, 所 以 ∠EMD = ∠AEM= 56°; (2)MA∥DE. 理由:因为 EM⊥EN,所以∠MEN = 90°. 因为∠BEN = 30°,所以∠AEM = 180°- 90°- 30° = 60°. 因为 AB∥CD,所以∠EMD = ∠AEM= 60°. 因为∠CME+ ∠EMD = 180°,所 以∠CME = 180° - 60° = 120°. 因为 MA 平分 ∠CME,所以 ∠AME = 1 2 ∠CME = 60°. 因为 EM 平分∠AED,所以∠MED = ∠AEM = 60°, 所以∠AME= ∠MED,所以 MA∥DE. 8. 解:(1)7　 【解析】因为 x+y= 6,所以(x+y) 2 = 36,所以 x2 +2xy+y2 = 36,因为 x2 +y2 = 22,所以 22+2xy= 36,所以 xy= 7. (2)因为 x-y= 2,所以(x-y) 2 = 4,所以 x2 -2xy +y2 = 4,因为 xy= 7,所以 x2 -14+y2 = 4,所以 x2 +y2 = 18,所以 x2 +y2 的值是 18. (3) 236　 【解析】设 CF = m,CE = n,则 mn = 110,因为 CD=AB= 16,BC= 12,所以 BE = 12- n,DF= 16-m,因为 BE =DF,所以 12-n = 16- m,所以 m-n = 4,所以(m-n) 2 = 16,所以 m2 - 2mn+n2 = 16,所以 m2 -220+n2 = 16,所以 m2 + n2 = 236,所以正方形 CFGH 和 CEMN 面积的 和为 236. 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 39 页