28.2.2 课时1 解直角三角形应用举例——仰角、俯角问题 课件2023-2024学年人教版数学九年级下册

D B A 28.2.2 应用举例 课时1 解直角三角形应用举例 ——仰角、俯角问题 1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点) 2. 能从实际问题中构造直角三角形,从而把实际问题转化为解直角三角形的问题,并能灵活选择三角函数解决问题.(重点、难点) 学习目标 美国人体工程学研究人员卡特 克雷加文调查发现,70%以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋,腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳. 若某成年人的脚掌长为15cm,鞋跟约在3cm左右高度为最佳. 据此,可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11 左右时,人脚的感觉最舒适. 你们知道专家怎么计算的吗? 今天我们就来学习实际生活中有关解直角三角形问题. 课前导入 知识点1 与圆有关的解直角三角形的问题 例1 2012 年 6 月 18 日,“神舟”九号载人航天飞船“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行,如图.当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km, 取3.142,结果取整数)? 如何将实际生活问题转化为数学问题呢? 探索新知 从组合体中能直接看到的地球表面最远点,是视线与地球相切时的切点. 如右图,本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的O的有关问题: 其中点F是组合体的位置,FQ是O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点,圆弧PQ的长就是地球表面上P,Q两点间的距离. 为计算圆弧PQ的长需先求出POQ(即 )的度数. 分析: O F P Q O F P Q 解:设∠POQ= ∵FQ是 O的切线 ∴ FOQ是直角三角形. 的长为 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程: ①将实际问题抽象为数学问题; ②根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; ③得到答案. 如图,秋千链子的长度为3m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60 ,则秋千踏板与地面的最大距离为多少? 0.5m 3m 60 牛刀小试 根据题意,可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度. 因此,本题可抽象为:已知 :DE=0.5m,AD=AB=3m,∠DAB=60 , ACB为直角三角形,求CE的长度. 分析: 解:∵∠CAB=60 ,AD=AB=3m, 3m A B D E 60 C ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m, ∴ CD=AD-AC=1.5m, ∴ CE=AD+DE=2.0m. 即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m. 知识点2 与视角有关的解直角三角形的问题 仰角:在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角 俯角:从上往下看,视线与水平线的夹角 水平线 铅垂线 视点 视线 仰角 俯角 例2 热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30 ,看这栋楼底部的俯角为 60 ,热气球与楼的水平距离为 120 m,这栋楼有多高(结果取整数)? 如何将实际生活问题转化为数学问题呢? 我们知道,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的是仰角,视线在水平线下方的是俯角.因此,在右图中,=30 , =60 . 在RtABD中,=30 ,AD=120,所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD,进而求出BC. 分析: 解:如图, =30 , =60 ,AD=120. ∵ tan =,tan =. ∴ BD=AD tan =120 tan 30 =120 =40, CD=AD tan =120 tan 60 =120 = 120. ∴ BC=BD+CD= + . = ≈277(m). 如图,小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60 ,小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m),你能帮小明算出该塔有多高吗? D′ A B′ B D C′ C 牛刀小试 解:如图,由题意可知, ∠AD′B′=30 ,∠AC′B′=60 , D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60 ,∠C′AB′=30 ,D′C′=50m , 设AB′= m. D′ A B′ B D C′ C 有关解直角三角形的实际问题: 水平线 铅垂线 视点 视线 仰角 俯角 解题步骤: ①将实际问题抽象为数学问题; ②根据条件的特点,适当选用锐 角三角函数等去解直角三角形; ③得到答案. 课堂小结 知识点 :利用解直角三角形解决一般的实际问题 1.(2022 长春)如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图,该起重机的变幅索顶端记为