21.5一次函数与二元一次方程的关系讲义2023-2024学年冀教版八年级数学下册

21.5一次函数与二元一次方程的关系 一．教学目标 理解一次函数与二元一次方程组的关系。 二．知识点梳理 1．一元一次方程．一元一次不等式与一次函数的关系 （1） 从“数”看一次函数y1=k1x＋b1，y2=k2x＋b2 ①函数值y1=y2时x的值↔一元一次方程k1x＋b1=k2x＋b2的解； ②函数值y1＞y2时x的值↔一元一次不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集； ③函数值y1＜y2时x的值↔一元一次不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集。 （2） 从“形”看一次函数y1=k1x＋b1（直线l1），y2=k2x＋b2（直线l2） ①直线l1与l2交点的横坐标↔一元一次方程k1x＋b1=k2x＋b2的解； ②直线l1在l2上方部分的点的横坐标↔一元一次不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集； ③直线l1在l2下方部分的点的横坐标↔一元一次不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集。 2．运用一次函数解决一元一次方程．一元一次不等式问题 一元一次不等式与一次函数的综合运用的题型多出现在实际应用问题中，常用来解决提出方案．做出决策等问题，如购物方案．旅游支付方案等，处理这类问题时需要根据自变量的不同取值范围，做出不同的判断和选择，也就需要进行分类讨论，分类时分界点的划分是通过对两个函数值大小的比较来确定的。 3．二元一次方程与一次函数的关系 对于二元一次方程和一次函数的关系，可以从三个角度来看： （1） 函数角度：在关于x 和y的二元一次方程ax+by=c（a，b均不为0）中，对于x的每一个值，都有y的唯一确定的值与之对应，可知变量y是变量x的函数。可见，二元一次方程实际上是确定了两个未知量（变量）间的一种函数关系。 （2） 方程角度：一次函数y=kx＋b（k，b为常数，且k≠0），可变形为二元一次方程的标准形式y－kx=b，一般地，一次函数可以变形为ax＋by=c（a，b均不为0）。由此看来，委员一次方程与一次函数完全是等价的。 （3） 图形角度：从对应的“形”来看，以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上，反过来，一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程ax＋by=c的解。 4．二元一次方程组与一次函数的关系 两条直线l1：y=k1x＋b1（k1≠0），l2：y=k2x＋b2（k2≠0）的交点坐标就是方程组的解，反之亦成立。 3． 典型例题 例1 已知一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 例2 如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（　　） A．x≤3 B．x≥3 C．x≤ D．x≥ 例3 已知直线y=x﹣3与y=2x+2的交点为（﹣5，﹣8），则方程组的解是　 　． 例4 在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）． （1）求a的值； （2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？ （3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？ 例5 如图，l1．l2分别是甲．乙二人运动的路程与时间关系图．根据图中信息，完成下列问题： （1）确定直线l1．l2的表达式； （2）请设计一个可以用二元一次方程组解决的实际问题． 例6 如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）不解关于x．y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由． 例7 如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 四．课堂练习 1．若直线y=3x+6与直线y=2x+4的交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（　　） A． B． C． D． 2．已知和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，则一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式为（　　） A．y=﹣2x﹣3 B． C．y=﹣9x+3 D． 3．如图中的两直线l1．l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 4．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 5．已知一次函数y=﹣mx+3和y=3x﹣n的图象交于点P（2，﹣1） （1）直接写出方程组的解； （2