22.6 正方形 学案 2023--2024学年冀教版八年级数学下册

22.6 正方形 一．教学目标 掌握正方形的性质和判定。 二．知识点梳理 1．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形．平行四边形．矩形．菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 2．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 3．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形．矩形．菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 三．典型例题 例1 下列说法中正确的是（　　） A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形 例2 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的大小是（　　） A．67．5° B．22．5° C．30° D．45° 例3 如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 例4 如图，正方形ABCD中，点E．F分别是BC．CD上的点，且CE=CF，点P．Q分别是AF．EF的中点，连接PD．PQ．DQ，则△PQD的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．等腰直角三角形 例5 如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（　　） A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 例6 如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由． 例7 已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD．BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证：BM=CM； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？ 例8 如图，已知在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，F为AB延长线上一点，连结AE．EF．CF，且满足△ABE≌△CBF． （1）若∠BAE=20°，求∠EFC的度数； （2）试判断AE与CF之间的位置关系，并说明理由． 四．课堂练习 1．下列判定正确的是（　　） A．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且一组对边平行的四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 2．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB=AF，则∠BFE=（　　） A．45° B．30° C．60° D．55° 3．如图，面积为16的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E．F．G分别在AB．BC．FD上．若BF=1，则小正方形的周长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE=1，CF=3，则AB的长为（　　） A． B．10 C．3 D． 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以△ABC的边向外作正方形，连接EC．BF，过B作BM⊥FG于M，交AC于N，下列结论： ①△ABF≌△AEC；②S四边形ABDE=2S△AEC；③S四边形AFMN=2S△ABF；④S正方形ABDE=S四边形AFMN，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．① D．①②③④ 6．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF． 7．如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求CF的长． 8．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三