22.4菱形讲义 2023-2024学年冀教版八年级数学下册

22.4 菱形 一．教学目标 掌握菱形的性质和判定。 二．知识点梳理 1．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=ab．（a．b是两条对角线的长度） 2．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 3．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 三．典型例题 例1 如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　） A．CP平分∠ACB B．CP⊥AB C．CP是AB边上的中线 D．CP=AP 例2 若菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别是5cm．12cm，则菱形ABCD的面积是（　　） A．30 cm2 B．36 cm2 C．48 cm2 D．60cm2 例3 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF．CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有个（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 例4 如图，在菱形ABCD中，点E，点F为对角线BD的三等分点，过点E，点F与BD垂直的直线分别交AB，BC，AD，DC于点M，N，P，Q，MF与PE交于点R，NF与EQ交于点S，已知四边形RESF的面积为5cm2，则菱形ABCD的面积是（　　） A．35cm2 B．40cm2 C．45cm2 D．50cm2 例5 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，求证：四边形ABGE是菱形． 例6 如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F． 求证：AE=CF． 例7 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线AC长6cm，求这个菱形的周长和它的面积． 四．课堂练习 1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（　　） A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ABE=90° D．BE平分∠DBC 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6） 3．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的面积为（　　） A．48 B．40 C．24 D．20 4．如图，菱形ABCD的对角线AC．BD相交于点O，E．F分别是AB．BC边上的中点，连接EF，若EF=3，BD=8，则菱形ABCD的周长为（　　） A．14 B．20 C．22 D．28 5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=20°，则∠DHO的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 6．如图，在菱形ABCD中，E．F分别是AB．BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD=110°，则∠FPC的度数是（　　） A．35° B．45° C．50° D．55° 7．如图，以菱形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B点的坐标为（3，4），把菱形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（　　） A．（8，5） B．（5，8） C．（8，6） D．（6，8） 8．