22.4 矩形 学案 2023--2024学年冀教版八年级数学下册

22.4矩形 一．教学目标 掌握矩形的性质和判定。 二．知识点梳理 1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形．内角都是直角．对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角．线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB．△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 三．典型例题 例1 平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（　　） A．一般平行四边形 B．一般四边形 C．对角线垂直的四边形 D．矩形 例2 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A．3 B．2 C． D．4 例3 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB．CD交于点E．F，连结BF交AC于点M，连结DE．BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论： ①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④△AOE是等腰三角形． 其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例4 如图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EB，EC． （1）求证：EB=EC； （2）若∠BEC=60°，AE=1，求AB的长． 例5 如图，已知▱ABED，延长AD到C使AD=DC，连接BC，CE，BC交DE于点F， 若AB=BC． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的长． 例6 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）连接DE，交AB与点O，若BC=8，AO=3，求△ABC的面积． 四．课堂练习 1．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（　　） A．6 B．3 C．3 D．6﹣6 2．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（　　） A．2∠ACE=∠BAC+∠B B．EF=2OC C．∠FCE=90° D．四边形AFCE是矩形 3．矩形的一条边和一条对角线的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADO=75°，那么∠AOD的度数是（　　） A．30° B．55° C．60° D．75° 5．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB．外角∠ACD的平分线于点E，F． （1）若CE=4，CF=3，求OC的长． （2）连接AE．AF，问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 6．如图，矩形ABCD中，点E．F．G．H分别AB．BC．CD．DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）在点E．F．G．H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 7．已知：如图，在△ABC中，D．E分别是AB．BC边上的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于F点，连接CD．BF． （1）求证：△BDE≌△CFE； （2）△ABC满足什么条件时，四边形BDC