9.3（2）平行四边形的判定（八大题型）-2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级下册数学 《第9章 中心对称图形---平行四边形》 9.3（2）平行四边形的判定 知识点一 平行四边形的判定 ★1、平行四边形的判定方法 类别 判定方法 图形 几何语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD 是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形ABCD 是平行四边形. ★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法. ★3、平行四边形的联系与区别 区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定. 联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系. 知识点二 反证法 ★1、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法. ★2、用反证法证明命题的一般步骤： ①假设原命题不成立； ②以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）； ③得出假设不成立，从而原命题成立. 题型一 利用定义进行平行四边形的判定 【例题1】如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A． ∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D B． 解题技巧提炼 当已知条件中涉及或易得出四边形的对边分别平行时，应考虑使用平行四边形的定义这种判定方法. 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　） A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180° 【变式1-2】（2023春•绥江县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．∠A+∠D＝180° C．∠B＝∠D D．AB＝BC 【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　　． 【变式1-4】（2022春•丰都县期中）如图，四边形ABCD中，BD垂直于AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC． 求证：四边形ABDE是平行四边形． 【变式1-5】（2023•宁夏）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 【变式1-6】已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形． 题型二 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定 【例题2】（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 解题技巧提炼 已知一组对边平行，可通过证明这组对边相等来证明平行四边形，“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”不同，前者指的是同一组对边，后者指的不是同一组对边，不能用来判定平行四边形. 【变式2-1】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD 【变式2-2】（2022•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形． 【变式2-3】（2022春•舒城县校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABE