2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，，，三点都在上，，且与互相垂直． (1)判断四边形的形状，并给出证明． (2)过点作的切线交的延长线于点，若，求线段的长． 2．如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)作的平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，求的长． 4．如图，是的直径，是的弦，是延长线上一点，过点作交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 5．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，由碾盘、碾砣、碾框、碾管芯、碾棍孔、碾棍等组成石碾分上下两部分，上面的叫碾砣，下面的叫碾盘，碾砣被固定在碾框上（碾齿深的那头在中间）而碾框是用硬木（一般是枣木）做成的架子，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，AC为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 6．如图，在中，，平分交于点E，作交于点D，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为5，，求，的长． 7．如图，是的直径，点C，D是上位于直线异侧的两点，，交的延长线于点E，且评分． (1)求证：为的切线； (2)若，， ①求的长； ②图中阴影部分的面积为______． 8．如图，是的直径，为的切线，弦，垂足为M，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求证：． 9．如图，是的直径，点为上一点，，垂足为，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求的长． 10．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若时，，求的直径的长． 11．如图，在中，是的直径；与相切于点，点在上，且． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交于点，若， ①图中阴影部分面积是______； ②连接，若的内切圆圆心为，则线段的长为______． 12．如图,在中,,,为边上一点,过三点的交边交于点E,连接并延长交于点F,过点E作交于点G． (1)求证:是的切线． (2)如图,连接．已知． ①若,求的长． ②求的值． ③记的面积为,的面积为,求的值． 13．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，过点D作，垂足为的延长线交于点N． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 14．如图1，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上．连接交于点，的外接圆与交于，两点．    (1)求证：是切线； (2)如图2，连接，，若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 15．如图，是的直径， ，与相交于点E，D 是的中点，直线与直线相交于点F．    (1)求证：是的切线． (2)已知，当长度变化时，的长也随之变化． ①当 时， ②在整个变化过程中，的长是否存在最大值？ 判断并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）解：四边形是菱形，证明如下： 如图，在圆上取一点，连接， ∵，，三点都在上，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴均为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； （2）∵过点作的切线交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，， ∴． 2．（1）证明：连接，如图所示： ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， 在， ， 在， ， ． 3．（1）证明：连接，    是半圆的直径， ， 即， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：①如图，为所作；    ②平分， ， ， 而， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 4．1）证明：如图，连接，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵的半径为5，即， ∴， ∴． 5（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：在中，，， ， ， ， ， ， 在中，， 的半径的长为． 6．（1）证明：如图，连接 ， ， ， 为的直径， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解： 的半径为5，，， ， ， ， ，