2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册3.3抛物线小专题突破

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册3.3抛物线小专题突破 一、单选题 1．已知抛物线：，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过的直线的条数是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与抛物线相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（    ） A． B． C． D． 4．若抛物线上一点到焦点的距离为3，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 5．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 6．已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 7．已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是抛物线上的动点，点，，为坐标原点，点到的准线的距离最小值为1，则（   ） A． B．的最小值为 C．的取值范围是 D． 10．设直线与抛物线相交于两点，且与圆相切于点，M为线段的中点（    ） A．当时，直线的斜率为1 B．当时，线段的长为8 C．当时，符合条件的直线有两条 D．当时，符合条件的直线有四条 11．抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（    ） A．若，则直线的斜率为或 B．若，则 C．若和不平行，则 D．若，则的最大值为 三、填空题 12．抛物线的焦点F与x轴上一点A的连线的中点P恰在抛物线上，则线段的长为 . 13．已知圆，点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点分别为，，则的取值范围为 . 14．过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据抛物线的几何性质，焦点弦为通径最短，即可求解. 【详解】由抛物线：，可得焦点， 又根据抛物线几何性质得通径长为， 又，根据对称性， 所以弦长为整数且不超过的直线的条数是. 故选：C 2．A 【分析】设点，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及中点坐标，设点关于轴的对称点为，可得，代入计算即可求出实数的值. 【详解】设点， 联立，消去得， 则， 因为线段的中点的横坐标为4， 所以，即， 设点关于轴的对称点为，则， 所以 ， 解得或. 故选：A. 3．B 【分析】根据抛物线定义可求得点坐标，进一步求得直线的方程，联立与抛物线的方程后，利用韦达定理可求得中点的坐标，继而求得点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【详解】由题可知，,准线方程为， 过点作于,于,于, 设， 由抛物线的定义知, 所以， 所以，， 所以, 所以, 则直线的方程为：， 联立直线与抛物线方程： ，消去得，， 则， 所以， ， 所以,则, 所以， 故选：B. 4．C 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由焦半径公式可得，故， 故选：C 5．B 【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果. 【详解】将点代入，可得， 故的焦点到其准线的距离为1． 故选：B. 6．C 【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 7．D 【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，的重心的纵坐标，再表示出、的垂直平分线方程，从而求出，即可得解. 【详解】设，，显然，直线的方程为， 由整理得，显然，所以，， 所以，所以的重心的纵坐标， 又的外心既在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 又的垂直平分线方程为 整理得， 同理可得的垂直平分线方程为， 则，解得， 即外心的纵坐标，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 8．C 【分析】设，根据条件得出直