2023-2024学年高二数学人教A版选择性必修第一册1.4空间向量的应用小专题突破

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册1.4空间向量的应用小专题突破 一、单选题 1．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知 ，则点 到直线 的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 7．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 8．三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在正方体中，分别为棱的中点，则（   ） A． B．四点共面 C．平面 D．平面 10．在长方体中，为的中点，则（    ） A． B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 11．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．存在点使直线与直线平行 三、填空题 12．已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 . 13．长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 14．在空间直角坐标系中，若平面过点，且以向量不全为零为法向量，则平面的方程为．已知平面的方程为，则点到平面平面的距离为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 2．A 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 3．C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可. 【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，， 所以,, 设, 则, 而, 所以点到直线的投影数量的绝对值为 , 所以点到直线的距离为 ， 当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为， 故选：C. 4．C 【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量即可求夹角的正弦值. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为1，所以， 所以，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 所以正弦值为. 故选：C. 5．A 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为，且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以两条异面直线所成的角， 故选：A. 6．D 【分析】建系，分别求出所需的各面的法向量，再用法向量垂直与平行逐个选项求出即可. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设边长为2， 则， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量，平面的法向量为， 对A，因为，则可知与不平行，故A错误； 对B，因为，则与不垂直，故B错误； 对C，因为，所以与不平行，故C错误； 对D，因为，与垂直，故D正确； 故选：D. 7．A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 8．A 【分析】建立空间直角坐标系，由，可得，再利用线线角的向量求法求解即得. 【详解】由平面平面，得