2023-2024学年高二数学人教A版选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用小专题突破

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用小专题突破 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，若是单调函数，且有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处取得极小值1，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的导函数为 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为 6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 7．已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（    ） A．0 B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的导函数为，对任意的正数x，都满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．当时，函数恰有1个零点 B．当时，函数恰有2个极值点 C．当时，函数恰有2个零点 D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2 11．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中是正数，表示初始时刻种群数量，r表示种群的内秉增长率，K表示环境容纳量，近似刻画t时刻的种群数量.下面判断正确的是（    ） A．如果，那么存在 B．如果，那么对任意 C．如果，那么存在在t点处的导数 D．如果，那么的导函数在上存在最大值 三、填空题 12．已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是 . 13．已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 14．如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为 ；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当的面积最大时，的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可. 【详解】由题意知， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以，即，所以，即，所以， 又，又，所以， 所以，所以． 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断. 2．B 【分析】由函数有零点，易得，再根据是单调函数可得或者在上恒成立，根据，推得恒成立，利用基本不等式即可求得参数的范围. 【详解】因为有零点，所以方程有解，即在上有解，所以． 又由可得：． 因为是单调函数，所以函数在上恒成立或在上恒成立． 因为，所以在上不可能恒成立． 即函数在上恒成立，即在上恒成立． 因为（当且仅当时，等号成立），故须使，解得． 综上，的取值范围是． 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数零点的含义，将其转化成对应方程有实根的问题；根据函数具有单调性，通过函数求导得出导函数在定义域上恒正或恒负，利用参变分离法即得参数范围. 3．B 【分析】不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】由得， 设，则，所以在上单调递减， 故由得， 所以，解得. 故选：B. 4．C 【分析】根据极值定义进行求解即可. 【详解】由， 因为在处取得极小值1， 所以有， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以是函数的极小值点，故满足题意， 于是有. 故选：C 5．C 【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐一判断即可. 【详解】A：，因此本选项不正确； B：由上可知：， 当时，，函数单调递增，因此本选项不正确； C：由上可知：， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确； D：由上可知，因为， 所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确， 故选：C 6．A 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故选：A 7．A 【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案. 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当