2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第二册4.3等比数列小专题突破

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册4.3等比数列小专题突破 一、单选题 1．已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（    ） A．5 B．1 C． D．或1 2．在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．8 C．-16 D．16 3．已知等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．数列为递增数列 C． D．若为等比数列，则 5．已知等比数列的前n项和为，公比，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 7．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（    ）（参考数据：取） A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天 8．已知数列的前项和为，则下列结论不正确的是（    ） A．是递增数列 B．是递增数列 C． D． 二、多选题 9．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理､化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，则（    ） A． B．，使得成等比数列 C．，对成等差数列 D． 10．若数列的前项和，数列的通项，则（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列的前项和 D．若，数列的前项和为，则不存在正整数，使得 11．已知分别是数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 13．在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，，，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令，则数列的通项公式为 . 14．高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中表示不超过的最大整数，如.已知满足，设的前项和为，的前项和为.则（1） ；（2）满足的最小正整数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据三个数成等比数列，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列， 则，故， 故选：D 2．C 【分析】设出公比，结合两等式左边两项的内在联系,直接求得公比，再结合所求式分子分母项的内在联系,化简成公比的乘方式，直接代入即得. 【详解】设等比数列的公比为，则，即，. 故选:C. 3．A 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得， 所以. 故选：A. 4．B 【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列的通项公式，再逐项分析判断即得. 【详解】依题意，，，则，而， 因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，， 又，因此，于是，， 对于A，，A错误； 对于B，，显然数列是递减数列，因此为递增数列，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，由为等比数列， 得，解得或， 当时，，显然数列是等比数列， 当时，，显然数列是等比数列， 因此当数列是等比数列时，或，D错误. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断. 5．D 【分析】直接利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】由等比数列求和公式得. 故选：D. 6．B 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：B 7．C 【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度）， 则，， 所以， ， 由，可得， 即，即， 解得或（舍去）， 由则，因为， 即，又，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数