2024年云南省人教版九年级中考数学二轮复习课件专题四　圆的证明与计算

专题四　圆的证明与计算 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识结合,形式复杂,无规律性.分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角的转化.特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题.其中重要而常见的数学思想方法有: (1)构造思想: 如:①构建矩形转化线段; ②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段长可求其他所有线段长); ③构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径; ④构造勾股定理模型(已知线段长度); ⑤构造三角函数(已知有角度的情况); ⑥找不到,找相似. (2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题; (3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系. 圆基本性质的证明与计算 [典型例题1] 如图所示,AB是☉O的切线,B为切点,直线AO交☉O于C,D两点,连接BC,BD,过圆心O作BC的平行线,分别交AB的延长线,☉O及BD于点E,F,G. (1)求证:∠D=∠E; (1)证明:连接OB,如图所示. ∵AB是☉O的切线,CD为直径, ∴∠OBE=∠CBD=90°. ∴∠OBE-∠OBD=∠CBD-∠OBD,即∠DBE=∠OBC. ∵OE∥BC,∴∠DOF=∠OCB. ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠DOG=∠EBG. 在△ODG和△BEG中, ∵∠DGO=∠BGE,∠DOG=∠EBG,∴∠D=∠E. (2)若点F是OE的中点,☉O的半径为3,求阴影部分的面积. [强化运用] 如图所示,☉O的直径AB垂直于弦DC于点F,点P在AB的延长线上,CP与☉O相切于点C,连接CB. (1)求证:∠PCB=∠PAD; (1)证明:如图①所示,连接OC, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. 由圆周角定理,得∠ADF=∠OBC,∴∠OCB=∠ADF. ∵CP与☉O相切,∴OC⊥PC.∴∠PCB+∠OCB=90°. ∵AB⊥DC,∴∠PAD+∠ADF=90°.∴∠PCB=∠PAD. (2)若☉O的直径为4,弦DC平分半径OB,求图中阴影部分的面积. [典型例题2] (2023北京)如图所示,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. (1)求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小 (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆的半径长. [强化运用] 1.如图所示,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,点D为AC上的动点(点A,C除外),BD的延长线交☉O于点E,连接CE. (1)求证:△CED∽△BAD; (2)当DC=2AD时,求CE的长. 2.如图所示,☉O的半径为1,A,P,B,C是☉O上的四个点, ∠APC=∠CPB=60°. (1)判断△ABC的形状,并说明理由. 解:(1)△ABC是等边三角形.理由如下: ∵∠APC=∠CPB=60°, ∠BAC和∠CPB是同弧所对的圆周角,∠ABC和∠APC是同弧所对的圆周角, ∴∠BAC=∠CPB=60°,∠ABC=∠APC=60°. ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°. ∴△ABC是等边三角形. (2)探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论. (3)当点P位于 的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积. 与切线有关的证明与计算 与角平分线相结合的模型 [典型例题1]如图所示,已知△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠CAB的平分线交BC于点D,交☉O于点E,连接EB,作∠BEF=∠CAE,交AB的延长线于点F. (1)求证:EF是☉O的切线; (2)若BF=10,EF=20,求☉O的半径和AD的长. [强化运用] 如图所示,以△ABC的边AC为直径的☉O恰 为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点E. (1)求证:DE是☉O的切线. (1)证明:如图所示,连接OD. ∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°. ∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBE=45°. ∴∠DOC=2∠DBE=90°. ∵AC∥DE,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE. ∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线 (2)探究线段BE,CE,DE之间有何数量关系?写出你的结论,并证明. 与弦切角相结合的模型 [典型例题2] 如图所示,在△ABC中,以AC为直径的☉O交AB于点D,连接CD,∠BCD=∠A. (1)求证:B