2024年云南省人教版九年级中考数学二轮复习课件专题二　四边形的证明与计算

专题二　四边形的证明与计算 1.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证:DM=BN. 平行四边形的相关证明及计算 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∵AM=CN,∴AB-AM=CD-CN,即BM=DN. 又∵BM∥DN, ∴四边形MBND是平行四边形. ∴DM=BN. 2.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA. (1)求证:四边形AECF是平行四边形; (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO. ∵BE=DF,∴EO=FO. ∴四边形AECF是平行四边形. (2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积. (2)解:∵BE=EF, ∴S△ABE=S△AEF=2. ∵四边形AECF是平行四边形, ∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO. ∴△CFO的面积为1. 矩形的相关证明及计算 1.(2023大庆)如图所示,在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°. (1)求证:四边形ACFD是矩形; (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC.∴∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE. ∵E为线段CD的中点,∴DE=CE.∴△ADE≌△FCE(AAS). ∴AE=FE.∴四边形ACFD是平行四边形. ∵∠ACF=90°,∴四边形ACFD是矩形. (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积. 2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (1)证明:∵FD∥CA,BC∥DE, ∴四边形ECFD为平行四边形. 又∵∠C=90°, ∴四边形ECFD为矩形. (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 3.已知在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,E为BC边上的动点(点E不与点B,C重合),将△AEB沿折痕AE翻折得到△AEB′,设 BE=m. (1)如图(1)所示,当点E,B′,D在同一直线上时,求m的值; (2)如图(2)所示,点F在CD边上,沿EF再次折叠纸片,使点C的对应点C′在直线EB′上,求DF的最小值. 菱形的相关证明及计算 1.如图所示,在平行四边形ABCD中,邻边AD,CD上的高相等,即BE=BF. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若DB=10,AB=13,求平行四边形ABCD的面积. 2.如图所示,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点O.DH⊥AB于点H,连接OH.若∠BCD=60°,求∠DHO的度数. 3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上且AD=BD,连接CD,E是CD的中点,过点C作CF∥AB,交AE的延长线于点F,连接BF. (1)求证:AE=EF; (2)求证:四边形BDCF是菱形. 4.(2023云南)如图所示,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别是∠BAD, ∠BCD的平分线,且E,F分别在边BC,AD上,AE=AF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若∠ABC=60°,△ABE的面积等于 ,求平行线AB与DC间的距离. 1.如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,且CA=CB,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE. (1)当AC⊥BD时,求证:BE=2CD; 正方形的相关证明及计算 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.∴BC=CD. 又∵CE=BC,∴BE=2BC. ∴BE=2CD (2)当∠ACB=90°时,求证:四边形ACED是正方形. 证明:(2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. 又∵CE=BC,∴AD=CE,AD∥CE. ∴四边形ACED是平行四边形. ∵∠ACB=90°,∴平行四边形ACED是矩形. 又∵CA=CB,∴CA=CE. ∴四边形ACED是正方形. 2.四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,F是射线BC上一动点(不与点B重合),连接AF,交DE于点G. (1)如图(1)所示,当点F是BC边的中点时,求证:△ABF≌△DAE. (2)如图(2)所示,当点F与点C重合时,求AG的长. (3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由. (2)解:∵CD=13,CF=5, ∴BC=AD=CF=5. ∵四边形ACFD是矩形,∴∠CFD=90°,AC=DF.