18.2 特殊的平行四边形(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年八年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

18.2 特殊的平行四边形 ( 板块一：知识精讲 ) 1．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 2．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 3．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 5．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ( 板块二：典题精练 )④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，若BD＝2，则AC的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（　　） A． B． C．1 D． 3．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2a，点E是边AB上的一点，且，连接DE，AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，连接CM，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形 6．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在上，∠AOB＝∠BCD＝90°，若CD＝6，BC＝8，则⊙O的半径为（　　） A．8 B．9.6 C． D． 7．如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF＝α，则∠BEF的度数是（　　） A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．3α 8．在一块边长为5a3cm的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为a3cm的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为（　　） A．9a9cm3 B．16a9cm3 C．9a8cm3 D．16a8cm3 9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，DE、AF交于点G，连接CG．若∠BCG＝α，则∠ADE的度数为（　　） A． B． C．90°﹣2α D． 10．如图，将图1中周长为16cm的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重