2023-2024学年人教版八年级数学下册分层优化堂堂清专题平行四边形性质和判定的应用

2023-2024人教版八年级数学下分层优化堂堂清 第18章 平行四边形 专题 平行四边形判定性质的应用 应用一、利用平行四边形的性质和判定判定平行四边形 例1．在学习完“平行四边形的判定”这一章节的知识之后，老师在黑板上出了一道证明题，并讲解了证明过程（如下）． 如图，，是的对角线上两点，且．求证：四边形为平行四边形．    证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，________． ∴． ∵， ∴________． ∴，． ∴________． ∴四边形为平行四边形． (1)请将老师板书的证明过程补全； (2)聪聪在经过思考后认为这道题也可以用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一定理证明，请你根据聪聪的思路写出证明过程． 针对练习1 1．数学活动课上，小明想取平行四边形的对角线上一点构造一个新平行四边形，具体的做法是：如图，在的对角线上取一点，连接，，再过点作，交于点，连接，得到四边形，进一步证明四边形是平行四边形．按以上思路完成下面的作图与填空． 证明：用直尺和圆规过点作，交于点，连接．（只保留作图痕迹） 在和中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ． ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴ ． ∴四边形是平行四边形． 2．如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．    (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________． (2)选择其中一个条件，写出证明过程： 我选择________， 证明过程如下： 巩固提高1 1．如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交边于点E，交边于点F．连接． (1)依题意补全图形； (2)①直接写出图中除外所有的平行四边形（可以标记字母）； ②选择①中的一个平行四边形加以证明． 应用二、利用平行四边形的性质和判定求线段的长 例2．如图，在中，，，的平分线交延长线于点，连接，过点作交于点，求的长．请将下列解答过程补充完整： 解：四边形为平行四边形， ____________． ． 平分， ． ____________． ． ，， ． 又，BF∥CE， ________________________． ． ， ____________． 针对练习2 1．在平行四边形中，，，∠BAD＝120°． (1)若，则______； (2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）； (3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长． 2．如图，共边和，是的边上的中线． (1)用无刻度的直尺在图中作交于点F； (2)若，求的长． 巩固提升2 1．综合与实践 已知线段AD向下平移m个单位后，再向右平移n个单位至线段BC，点A，D的对应点分别为点B、C，连接AB、CD、AC、BD，AC与BD交于O点． (1)如图1，求证：OB=OD． (2)如图2，过D点作DM⊥BC于M，N为CD的中点，连接MN，若∠ADB=45°，，MN=4，求的值． (3)在（2）的条件下，H在BC上移动，当为等腰三角形时，请直接写出HC的长． 2．如图，已知． (1)尺规作图：作平行四边形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）所作的平行四边形ABCD中，连接BD，交AC于点O． ①若，，，求BD的长； ②过点O作直线EF与边AD，BC分别交于点E，F，设四边形EDCF的面积为，平行四边形ABCD的面积为，求的值． 应用三、利用平行四边形的性质和判定证明线段的数量关系 例3 -1.如图，平行四边形中，点E、F分别在上，且，求证：． 例3-2．如图，已知，、相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 针对练习3 1．如图，在平行四边形中，于点M. (1)用尺规完成以下基本作图：过点作于点，并连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：.（请补全下面证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ① ， ∵，， ② ， 在和中， ， ， ③ ， 又∵，， ． ④ ， ． 2．如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，直接写出的长． 巩固提升3 1．已知：如图，在中，点、是、的中点，连接、，求证：． 2．在四边形中，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 应用四、利用平行四边形的性质和判定求图形面积 例4-1