5.3.1函数的单调性课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3 导数在研究函数中的应用 在必修第一册中,我们通过图象直观,利用不等式、方程等知识,研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两节中,我们学习了导数的概念和运算,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢?本节我们就来讨论这个问题. 5.3.1 函数的单调性 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 下右图是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,下左图是跳水运动员 的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.a= , b是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学上刻画这种区别? 一、探究新知 观察图象可以发现: (1)从起跳到最高点,运动员的重心处于上升状态,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)单调递增.相应地, v(t)=h'(t)>0. (2)从最高点到入水,运动员的重心处于下降状态,离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(t)单调递减.相应地, v(t)=h'(t)<0. 一、探究新知 我们看到,函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系.那么,我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题,可以发现: 当t∈(0,a)时,h'(t)>0,函数h(t)的图象是“上升”的,函数h(t)在(0,a)上单调递增; 当t∈(a,b)时,h'(t)<0,函数h(t)的图象是“下降”的,函数h(t)在(a,b)上单调递减. 这种情况是否具有一般性呢? 一、探究新知 一、探究新知 观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与导数的正负的关系. 一、探究新知 如下图,导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.可以发现: 在x=x0处,f'(x0)>0,切线是“左下右上”的上升式,函数f(x)的图象也是上升的,函数f(x)在x=x0附近单调递增; 在x=x1处,f'(x1)<0,切线是“左上右下”的下降式,函数f(x)的图象也是下降的,函数f(x)在x=x1附近单调递减. 二、函数的单调性与导数 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 如果在某个区间上恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性? 三、典型例题 例1 利用导数判断下列函数的单调性: (1)f(x)=x3+3x (2)f(x)=sinx-x,x∈(0, ) (3)f(x)=ex-x+1 (4) 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、典型例题 例2 已知导函数f'(x)的下列信息: 当1<x<4时,f'(x) > 0; 当x>4或x<1时, f'(x)<0; 当x=4或x=1时,f '(x)= 0. 试画出函数f(x)的图象的大致形状. O x y 1 4 y=f(x) 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、典型例题 请同学们回顾一下函数单调性的定义,并思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负的关系. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例3 求函数f(x)= x3- x2-2x+1的单调区间. 如果不用导数的方法,直接运用单调性的定义,你如何求解本题? 运算过程麻烦吗?你有什么体会? 三、典型例题 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、典型例题 一般情况下,我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性: 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、典型例题 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况. 幂函数y=x3的导数为y'=3x2>0(x∈(0,+∞)),所以y=x3在区间(0,+∞)上单调递增. 当x越来越大时,y'=3x2越来越大,函数y=x3递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”(如右图). 对数函数y=Inx的导数为y'= >0(x∈(0,+∞)), 所以y=Inx在区间(0,+∞)上单调递增. 当x越来越大 时,y'= 越来越