27.2.2 相似三角形的性质 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

A A 8∶9 C B 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.求△BCD与△ABC的周长之比． 解：∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，∴△BCD∽△BAC.在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∴C△BCD∶C△ABC＝BC∶AB＝1∶2 B 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEF＝3，则S△BCF为( ) A．6 B．9 C．12 D．10 C 9．将一副三角板按如图所示叠放． (1)求证：△AOB∽△COD； (2)求△AOB与△COD的面积比． 第二十七章 相似 27.2.2 相似三角形的性质 1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. 学习目标 1. 相似三角形的判定方法有哪几种？ 定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似 平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形 与原三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似 复习引入 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素? 如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？ 高 中线 角平分线 周长 面积 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ A B C A' B' C' 讲授新课 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C A' B' C' D' D ∴ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应高的比. 仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比. 试一试 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳总结 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C ∴ EH 的长为 3.2 cm. 典例精析 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 想一想 如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 归纳： 相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？ A B C A' B' C' 由前面的结论，我们有 A B C A' B' C' D' D 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 由此得出： 归纳总结 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 A B C D E F ∴ 例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. A B C D E F ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ， 求四边形 BCDE 的面积. 　 ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE