17.1 第1课时 勾股定理 课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 第1课时 勾股定理 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 一、勾股定理的认识及验证 问题1 图中有哪些几何图形？ 三角形，正方形 等 课本23页 A的面积(单位长度) B的面积(单位长度) C的面积(单位长度) 图1 图2 A、B、C面积关系 直角三角形三边关系 4 9 13 9 25 34 sA+sB=sC 两直角边的平方和 等于斜边的平方 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 下面的动图形象的说明了命题 1 的正确性，据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ a b b c a b c a 23--24页 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. 边长为，a，b的正方形 分割4个全等的三角形和1个正方形 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b- a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 等面积法证明勾股定理 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， 30页证法2 毕达哥拉斯证法 等面积法证明勾股定理 a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 30页证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 等面积法证明勾股定理 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a、b、c 为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 公式变形： 勾股定理 b a c 归纳总结 24页 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾2 + 股2 = 弦2 小贴士 例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a = b = 5，求 c； (2) 若 a = 1，c = 2，求 b. 解： (1) 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 (2) 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 利用勾股定理进行计算 C A B 课本24页 (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ; (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. 解： (1) 设 a = x，b = 2x，由勾股定理得 x2 + (2x)2 = 52， 解得 (2) 因此设 a = x，c = 2x，由勾股定理得 (2x)2 - x2 = 152， 解得 例2 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长. 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC = AB×CD. ∴ CD = . A D B C 3 4 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用． 归纳 练一练 求下列图中未知数 x、y 的值： 解：由勾股定理得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15. 解：由勾股定理得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5. 新知导入 c a b 勾股定理及其数学语言表达式: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 C A B