精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题

沈阳二中24届高三寒假阶段测试（数学） 考试时间：120分钟；命题人：高三数学组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “，”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数，数列，满足，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线在点处的切线与圆也相切，当半径最大时圆的方程是（ ） A. B. C D. 7. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. 1 C. 16 D. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，且，则总体方差 B. 在研究成对数据相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知一组数据为，则这组数据的第40百分位数为39 10. 已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 是周期函数 D. 11. 欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 若，则有 B. 若，，则 C. 若，则 D. 设，则在复平面上对应的点在第一象限 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 整数有______个不同的正因数. 13. 已知椭圆的离心率为，则______. 14. 棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答. 在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，，，平面平面，点到平面的距离为． （1）求证：平面． （2）求平面和平面所成角的余弦值． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，）. 18. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： （1）请直接写出与数值． （2）证明是一个等差数列，并写出公差d． （3）当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 19. 已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成. ①任意中有三个，一个3； ②存在，使中恰有三个数相等. （1）判断数表是否由生成；（结论无需证明） （2）是否存在数表由生成？说明理由； （3）若存在数表由生成，写出所有可能的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限