2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目13 “将军饮马”求最值2.0版

项目13 “将军饮马”求最值2.0版 探究1 动态三角形的周长最小 1. 如图，点A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，使△ABC的周长最小. 思路： 如图解，分别作点A关于OM，ON的对称点A'和A''，连接A'A''，与OM，ON相交于点B，C，则线段A'A''的长度即为△ABC周长的最小值. 2. 如图，在四边形ABCD中，∠C = 50°，∠B = ∠D = 90°，点E和F分别在BC和DC上，试求当△AEF的周长取得最小值时∠EAF的度数. 思路： 如图解，由作图得线段MN的长度即为△AEF周长的最小值.易得∠DAB = 180° - ∠C = 130°，易得∠M + ∠N = ∠C = 50°，所以∠EAF = 130° - 50° = 80°. 3. 如图，∠AOB = 60°，点P是∠AOB内的一个定点且OP = ，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，试求△PMN周长的最小值. 思路： 如图解，由作图得线段P'P''的长度即为△PMN周长的最小值.由对称的性质易得∠P'OP'' = 120°，OP' = OP'' = OP = ，求得P'P'' = 3. 解题通法 定点的对称点也一定是定点，通常将“作定点关于动点所在直线的对称点”作为思考的切入点. 轴对称变换巧妙转化了点、线段和角的位置关系，且保证了转化前后的等量关系. 探究2 “胡不归”问题 4. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 1，P是AC上一动点，求的最小值. 思路： 如图解，由AP可知，作∠CAM = 30°，过点P作PD⊥AM于点D，过点B作BE⊥AM于点E，可得PD = AP，所以当B，P，D在一条直线上时，BP + PD即BP + AP最小，最小值为线段BE的长度 = . 5. 如图，△ABC中，AB = AC = 10，tan A = 2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求的最小值. 如图解，过点 D作 DF⊥AB于点 F，过点 C作CF′⊥AB 于点F′，得DF = BD，所以CD + BD的最小值为线段CF′的长度 = 4. 思路： 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点A，B，抛物线恰好经过A，B两点，点C的坐标是（0，6）.将△ACO绕点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E.若点P是y轴上任意一点，求取最小值时点P的坐标. 如图解，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交y轴于点P，作EG⊥y轴于点G，可得HP = BP，所以BP + EP的最小值即为EH的长，由△GEP ∽ △HBP求得PG = ，所以P. 解题通法 “胡不归”问题是指求带系数的线段和（形如“AB + kAC”）的最小值，解这类试题的关键是通过三角函数构造“AD = kAC”，将求“AB + kAC”的最小值转化为求“AB + AD”的最小值，进一步将图形转化为“将军饮马”模型的基本图形进行求解. 迁移进阶 * 1. （原创）如图，在∠AOB的内部有一点P，∠AOB = 45°，OP = 2，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为 　 　⁠. 　 2. （原创）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -x2 + 2x + 3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，抛物线的最高点为点D.若点E是对称轴直线l上一点（点A，C，E不在同一条直线上），当△ACE的周长最小时，点E的坐标为 　（1，2）　⁠. （1，2）　 思路： 如图解，已知点A，B关于直线l对称，连接BC交直线l于点E，求出直线BC的函数表达式为y = -x + 3，将x = 1代入得y = 2，求得E（1，2）. 3. 如图，△ABC中，AB = 5，AC = 4，sin A = ，BD⊥AC于点D，点P是线段BD上的一个动点，则PC + PB的最小值是 　　⁠. 思路： 　 如图解，过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则PE = PB，所以PC + PB的最小值为线段CF的长，易求得CF = . 4. 如图，在菱形ABCD中，AB = AC = 10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM = 3，点P为线段BD上的一个动点，则MP + PB的最小值是 . 　⁠ 思路： 　 如图解，过点P作PE⊥BC于点E，过点M作MF⊥BC于点F，易知PE = PB，所以MP + PB的最小值为线段MF的长，易求得MF = . 5. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 6.点D是边BC上的动点，则BD + AD的最小值是 　4