2024年广东省中考数学二轮复习特色专题突破课件：项目9 有趣的“角含半角”

项目9 有趣的“角含半角” 探究1 正方形中的“角含半角” 1. 如图1，在正方形ABCD中，∠EAF = 45°，点E，F分别在BC，CD上，连接EF. （1）请写出BE，DF，EF之间的数量关系. 思路： （1）如图解1，用“旋转法”或“截长补短法”构造△ABG ≌ △ADF，易得△AEG ≌ △AEF，所以BE + DF = EF. （2）如图2，在图1的基础上，过点A作AH⊥EF交EF于点H，求证：EA平分∠BAH，FA平分∠DAH. 思路： （2）由（1）可得∠AEF = ∠AEB，∠AFH = ∠AFD.易得△ABE ≌ △AHE，△ADF ≌ △AHF.所以∠BAE = ∠HAE，∠DAF = ∠HAF，所以EA平分∠BAH，FA平分∠DAH. （3）如图3，当点E，F分别在CB和DC的延长线上时，写出BE，DF，EF之间的数量关系，并证明 . 思路： （3）如图解2， 构造△ADG ≌ △ABE， 易得△AFE ≌ △AFG， 所以BE + EF = DG + GF = DF. 2. 拓广探究 如图4，在题1中图1的基础上连接BD，分别交AE，AF于点M，N. （1）请写出BM，DN，MN之间的数量关系. 思路： （1）如图解3， 构造△ABP ≌△ADN，连接PM， 可得AP = AN，∠PAM = ∠NAM，BP = DN，∠PBM = 90°， 易得△APM ≌ △ANM，可得PM = NM， BM2 + BP2 = PM2， 所以BM2 + DN2 = MN2 . （2）请写出图中所有与△AMN相似的三角形. 思路： （2）如图解4，△AMN ∽ △AFE ∽ △DMA ∽ △BAN ∽ △BME ∽ △DFN. （3）如图5，连接AC，FM. 求证：①△ABM ∽ △ACF.②△AMF为等腰直角三角形. 思路： （3）①由∠BAM + ∠MAC = 45°，∠CAF + ∠MAC = 45°，可得∠BAM = ∠CAF，又因为∠ABM = ∠ACF = 45°，所以△ABM ∽ △ACF. ②由①可得△ABM ∽ △ACF，所以 = ， 又因为∠BAC = ∠MAF = 45°， 所以△AMF ∽ △ABC， 得出△AMF为等腰直角三角形. 解题通法 正方形中“角含半角”模型可以带来哪些结论？ 1.基本图形： 结论： （1）△AEF ≌ △AEG. （2）EF = BE + DF. （3）∠AEG = ∠AEF，∠AFE = ∠G = ∠AFD. （4）C△CEF = 2BC. （5）. 解题通法 2.基本图形： 结论： （1）AH = AB = AD. （2）△ABE ≌ △AHE，△ADF ≌ △AHF. 解题通法 3.基本图形： （1）△AMN ∽ △AFE ∽ △DMA ∽ △BAN ∽ △BME ∽ △DFN. （2）△AMB ∽ △AFC. （3）△AND ∽ △AEC. （4）△AMF和△ANE是等腰直角三角形. （5）M，N，F，E四点共圆. （6）A，B，E，N四点共圆. （7）A，D，F，M四点共圆. 探究2 其他图形中的“角含半角” 3. （1）如图1，在四边形ABCD中，AB = AD，∠B = ∠D = 90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF = ∠BAD.求证：EF = BE + FD. 思路： （1）如图解1，用“旋转法”或“截长补短法”构造△ABG ≌ △ADF， 进而可得AG = AF，∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠FAE，得出△AEG ≌ △AEF，所以 EF = BE + FD. （2）如图2，在四边形ABCD中，AB = AD，∠B + ∠ADC = 180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，EF，且∠EAF = ∠BAD，请写出线段EF，BE，FD之间的数量关系，并证明. （2）EF = BE - FD. 如图解2，在BE上截取BG，使BG = DF，连接AG. 易得△ABG ≌ △ADF， 有AG = AF，∠BAG = ∠DAF， 易得∠GAE = ∠FAE， 所以△AEG ≌ △AEF， 所以EF = BE - FD. 4. 如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠B = ∠D = 90°，∠BAD = 120°，∠EAF = 60°，AE，AF分别与边BC，CD交于E，F两点，连接EF. 猜想EF，BE，DF存在怎样的数量关系？请说明理由. 思路： 如图解，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABF'，可得△ABF'≌ △ADF， 易证△AEF' ≌ △AEF， 所以EF = BE + DF. 解题通法 如何识别“角含半角”模型？遇到该模型时，如何添