2024年广东省中考数学二轮复习突破 课件： “手拉手”模型拓展

项目8 “手拉手”模型拓展 探究1 “手拉手”型全等 1. 如图1，已知△ABC和△ADE是等腰三角形，AB = AC，AD = AE，且∠BAC = ∠DAE = α，连接BD，CE. （1）求证：BD = CE. 思路： 易证△ABD ≌ △ACE，故BD = CE. （2）若延长BD交CE于点F，则∠BFC =  　α　⁠. α　 （3）如图2，若∠BAC = ∠DAE = 90°，将△ADE绕点A逆时针旋转，当点B，D，E在同一条直线上时，过点A作AF⊥DE于点F，判断BE，CE，AF之间的数量关系，并说明理由. 思路： 由等腰直角三角形ADE得 ∠ADE = ∠AED = 45°，DE = 2AF. 由△ABD ≌ △ACE，得BD = CE. 可得BE = BD + DE = CE + 2AF. （4）利用图1和图2，你还能发现哪些结论？ 思路： 如图解1，在图1的基础上延长BD交CE于点O，连接AO，则OA平分∠BOE. 点A，B，C，O四点共圆，△APO ∽ △BPC，△APB ∽ △OPC. 如图解2，点A，B，C，E四点共圆，△APE ∽ △BPC，△APB ∽ △EPC. （4）利用图1和图2，你还能发现哪些结论？ 解题通法 全等型“手拉手”模型包含的结论如下： 如图， ①三角形全等： △ABD ≌ △ACE； ②“拉手线”相等：BD = CE； ③“拉手线”的夹角 = 等腰三角形的顶角， 即∠BOC = ∠BAC = ∠DAE； ④角平分线：OA平分∠BOE（或∠BOE的邻补角）； ⑤四点共圆：A，B，C，O四点共圆； ⑥“8字型”相似三角形：△APO ∽ △BPC，△APB ∽ △OPC等. 探究2 探究2 “手拉手”型相似 2. 在△ABC中，CA = CB，∠ACB = α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP. （1）如图1，若α = 60°，BD交AC于点M，则的值是 　1　⁠，直线BD与直线CP相交所成锐角的度数是 　60°　⁠. 1　 60°　 思路： 如图解1，易证△CPA ≌ △BDA， 得到BD = CP，∠PCA = ∠ABD. 可得 = 1. 由∠QMC + ∠PCA = ∠AMB + ∠ABD， 得∠BQC = ∠BAC = 60°. （2）如图2，若α = 90°，BD与AC，PC分别相交于点M，N，求的值及∠CNM的度数. 思路： 如图解2，易证△CPA ∽ △BDA， 可得 = = ，∠3 = ∠4. 由∠3 + ∠DMC = ∠4 + ∠AMB， 得∠1 = ∠2 = 45°. （3）如图3，当α = 90°时，若P，D，C三点在同一直线上，且DA = DC，BD交AC于点M，DM = ，求AP的长. 思路： 如图解3，设AP = x， 由△APD是等腰直角三角形和△CPA ∽ △BDA，相似比为1∶. 可得AD = ，∠2 = ∠3，BD = . 由DA = DC可得∠1 = ∠2，得到∠1 = ∠3， 可证△ADM ∽ △BDA，可得AD2 = DM·BD，解得AP = 1. 解题通法 相似型“手拉手”包含的结论如下： ①三角形相似：△ABC ∽ △ADE，△ABD ∽ △ACE. ②对应线段成比例： = = . ③∠P = ∠BAC = ∠DAE. ④A，B，C，P四点共圆. 探究3 构造“手拉手” 3. 在△ABC中，∠BAC = 60°. （1）如图1，若AB = AC，点P在△ABC内且∠APC = 150°，PA = 3，PC = 4，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点P旋转到点D，连接DP，请补全图形并直接写出PB的长. 思路： 如图解1，由△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB， 可得△ADB ≌ △APC，△ADP是等边三角形. 由∠ADB = ∠APC = 150°得∠BDP = 90°， 由勾股定理得PB = 5. （2）如图2，若AB = AC，点P在△ABC外，且PA = 3，PB = 5，PC = 4，求∠APC的度数. 思路： 如图解2，将AP绕点A按顺时针方向旋转60°得到AM，连接BM，PM，则△ABM ≌ △ACP，△APM是等边三角形.易得PM = 3，BM = 4，PB = 5，∠PMA = 60°，由勾股定理逆定理可得∠PMB = 90°，得到∠AMB = 30°.故∠APC = 30°. （3）如图3，若AB = 2AC，点P在△ABC内，且PA = ，PB = 5，∠APC = 120°，求PC的长. 思路： 如图解3，在PA的上方作∠PAQ = 60°且AQ = 2PA， 连接BQ