1.4角平分线 解答题基础达标训练2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》 解答题基础达标训练（附答案） 1．证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． 2．如图，在直角中，，    (1)请用尺规作图法在边上求作一点P，使得点P到边的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的面积． 3．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 4．已知：如图，于，于，若，；求证：平分． 5．如图，、分别是外角，的平分线，它们交于点，，，垂足分别为、，则是的平分线吗？请说明理由． 6．如图，、分别平分、，相交于点，过点作，，，垂足分别为、、．求证：点在的平分线上． 7．如图，在ABC 中，已知 AD 是BAC 的角平分线，B 64 ，C 36 （1）求DAC的度数； （2）若 DE 平分ADC交AC于E，求CDE 的度数. 8．如图，在中，，的外角平分线交直线于，过作，分别交直线、于点、，连接．那么与有怎样的关系？请说明理由． 9．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    10．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠CBE=180°．求证：    （1）BC=CD； （2）2AE=AB+AD． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB． （1）求∠A； （2）若DE＝2cm，BD＝4cm，求AC的长． 12．如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、． （1）求证：； （2）求证：．    13．如图,已知在中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点．求证: (1); (2)猜想线段的数量关系,并进行证明． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直． (1)求的度数． (2)若，求点到的距离． 15．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于点M，交于点N，若，． (1)求证：； (2)求的周长． 16．如图，为延长线上的一点，与均为等边三角形． (1)求证：； (2)求证：平分． 17．如图，，，，，    (1)求证：； (2)设与相交于点F，连接，求证：平分． 18．如图，在的两边上分别取点M、N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和． 19．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”    (1)如图1，在中，，请写出图中两对“等角三角形”． (2)如图2，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． (3)在中，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 20．已知，中，，平分，是上一点，于， （1）当与重合时，如图1， ①若，，求的度数； ②问与，之间有何关系？请证明你的结论； （2）如图2，是延长线上一点，若，于点，试探究与的关系． 参考答案 1．解：已知如图，分别平分且相交于点． 求证：． 证明：， ． 分别平分， ， ， ． 2．（1）解：如图所示：点P即为所求：    （2）解：作，如图所示：    由（1）可得，平分， ∵ 的面积为： 3．证明：平分， ， 在和中， ， ． 4．证明：∵，， ∴ 在和中： ∴， ∴ 又∵，， ∴平分 5．解：为的平分线．理由如下： 作，垂足为． ∵，分别是与的平分线，且，， ∴，． ∴． 又，， ∴点在的平分线上． ∴为的平分线． 6．证明：∵点在的平分线上，,； ∴． 又点在的平分线上，，； ∴． ∴． ∴点在的平分线上． 7．解：（1）∵∠B 64，C 36， AD 是BAC 的角平分线 （2）∵∠DAC 40，C 36， DE平分ADC交AC于E， 8．解：垂直平分．理由如下： ∵是的平分线，，， ∴，DE=DF， 又， ∴Rt≌Rt（HL）． ∴． ∴△EAF是等腰三角形， ∵，是的平分线， ∴OE=OF，AD⊥EF， ∴是的垂直平分线． 9．解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 10．证明：（1）过C作CF⊥AD于F，    ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB， ∴CF＝CE， ∵∠ADC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠FDC＝180°， ∴∠CBE＝∠FDC， 在△FDC和△EBC中， ∵， ∴△FDC≌△EBC（AAS）， ∴CD＝BC； （2）∵△FDC≌△EBC， ∴DF