17.2 勾股定理的逆定理 讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册

17.2 勾股定理的逆定理 知识点归纳 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形; (2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方与另两边的平方和; (3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。 三、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数. 四、一个重要结论： 由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。 五、勾股定理及其逆定理的应用 解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。 提升练习 一、单选题 1．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C．，， D． 2．一个零件的形状如图所示，，，，，，则这个零件的面积是（　　） A．36 B．72 C．87 D．88 3．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （　　） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 5．如图，阴影部分表示以的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则长是（　　） A． B． C．4 D．5 6．如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 7．如图，钓鱼竿的长为6m，露在水面上的鱼线长为2m．钓鱼者想看鱼上钩的情况，把钓鱼竿调整到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互补 B．三角形内角和等于180° C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方 D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 二、填空题 9．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为　 　米． 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 、 交于点 ．若 ， ，则 　 　． 11．如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段 与 交于点O．则 的面积与 面积的大小关系为： 　 　 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 12．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为　 　尺. 13．如图，在△ABC中，AB=2.5cm，AC=6cm，BC=6.5cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为　 　cm． 三、解答题 14．如图，把一块三角形 土地挖去一个直角三角形 后，测得 米， 米， 米， 米.求剩余土地(图中阴影部分)的面积. 15．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？ 16．已知某校有一块四边形空地ABCD如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A=90°，AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，DA=4cm．若种每平方米草