7.3 复数的三角表示（六大题型）（讲义）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

7．3 复数的三角表示 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【典型例题】 题型一：复数的三角形式 【典例1-1】（2024·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一课时练习）若，则的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤） （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 【典例2-1】（2024·高一课时练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为 ． 【典例2-2】（2024·高一课时练习）复数的三角形式为 ． 【变式2-1】（2024·高一课时练习）（）改写成三角形式为 ． 【变式2-2】（2024·高一课时练习）改写成三角形式为 ． 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 题型三：把复数表示成代数形式 【典例3-1】（2024·高一课时练习）若复数满足，则的代数形式是 . 【典例3-2】（2024·高一课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是 ． 【变式3-1】（2024·高一课时练习）复数的代数形式是 . 【变式3-2】（2024·高一课时练习） （用代数形式表示）. 【方法技巧与总结】 解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项） （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 题型四：复数的三角形式乘法运算 【典例4-1】（2024·高一课时练习）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一课时练习）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一课时练习）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（    ） A． B． C．－i D．＋i 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项） 两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 题型五：复数的三角形式除法运算 【典例5-1】（2024·高一课前预习）计算(cos＋isin)÷＝ ． 【典例5-2】（2024·全国·高一专题练习）计算： ．(用代数形式表示) 【变式5-1】（2024·高一课时练习）÷()= . 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的三角形式除法运算的注意事项） 两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【典例6-1】