4.3.1 第2课时 异面直线（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第2课时　异面直线(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系． 2．理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法． 1．异面直线的判定方法 文字语言 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线 图形语言 符号语言 若a⊂α，A∉α，B∈α，B∉a，则直线AB与a是异面直线 2．异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 在空间任取一点P，过P分别作直线a′∥a，b′∥b 结论 我们把直线a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 图例 特殊情况 如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b 3．异面直线垂直的定义 如图，设a，b是异面直线，过a上任意一点A作直线c，使c∥b，如果a⊥c，就称a⊥b. 微点助解 对异面直线所成的角的认识 (1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关． (2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算． (3)异面直线所成的角的大小不能是0°，若两条直线所成的角是0°，则这两条直线平行，不可能异面． (4)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直． [基点训练] 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　 ) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 答案：B 2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________． 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°. 答案：60° 3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是________． 解析：连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°. 答案：45° 题型(一)　异面直线的判定 [典例1]　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为BB1，CC1的中点，求证：直线AE与直线BF是异面直线． [证明]　因为BF⊂平面BCC1B1，E∈平面BCC1B1，E∉BF，A∉平面BCC1B1，所以由异面直线的判定定理可知，直线AE与直线BF是异面直线． [方法技巧] 判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)． [针对训练] 1．已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线． 证明：法一(反证法)：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线． 法二(直接证法)：∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面，设为α.由题意，得C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线． 题型(二)　求异面直线所成的角 [典例2]　正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　 ) A. B． C. D． [解析]　依题意，不妨设AB＝1，则AA1＝3AB＝3，因为在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1.所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角．在△A1BC1中，A1C1＝AB＝，A1B＝＝，则BC1＝，由余弦定理得cos∠A1BC1＝＝. [答案]　C [方法技巧] 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求． [针对训练] 2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则