3.1 复数的概念（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

　第3章　复　数 3．1　复数的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数． 2．理解复数的代数表示，理解两个复数相等的条件． 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 逐点清(一)　复数的概念 [多维度理解] 复数的定义及代数形式 定义 把形如a＋bi(其中a，b∈R)的数称为复数，其中a称为复数a＋bi的实部，b称为复数a＋bi的虚部，i称为虚数单位，i2＝－1 代数形式 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．我们一般将复数z的实部记作Re z，虚部记作Im z 微点助解 (1)虚数单位i性质的关注点 i2＝－1的理解：并没有规定i＝±还是i＝或i＝－，在今后的学习中，我们将知道＝±i，但不能说i＝±. (2)复数概念的两个关注点 ①复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. ②不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． [细微点练明] 1．若复数z满足z＝6i＋2i2，则z的虚部是(　 ) A．－2i B．6i C．1 D．6 解析：选D　z＝6i＋2i2＝－2＋6i，则z的虚部是6. 2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，则b的值为(　 ) A．2 B． C．－ D．－2 解析：选A　由复数2－bi(b∈R)的实部与虚部之和为0，得2－b＝0，即b＝2. 3．以－＋7i的虚部为实部，以i＋5i2的实部为虚部的复数是(　 ) A．7－5i B．－＋i C．5＋i D．＋i 解析：选A　设所求复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知复数－＋7i的虚部为7，所以a＝7.复数i＋5i2＝－5＋i的实部为－5，所以b＝－5.故z＝7－5i. 4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则a的取值范围为________． 解析：由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1.因此a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 逐点清(二)　复数的分类 [多维度理解] 1．复数集 习惯上用C表示全体复数组成的集合，称为复数集，于是C＝{a＋bi|a，b∈R}． 2．复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： (1)当且仅当b＝0时，z是实数a； (2)当b≠0时，z称为虚数； (3)当b≠0且a＝0时，z＝bi称为纯虚数． 微点助解 (1)a＝0是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件． (2)复数集C是目前中学阶段接触到的最大数集，由此可知N＋NZQRC. (3)设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. [细微点练明] 1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　 ) A．1 B．2 C．－1或－2 D．1或2 解析：选B　由得a＝2，故选B. 2．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________． 解析：由z1>z2，得 即解得a＝0. 答案：0 3．实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？ 解：①当x满足 即x＝5时，是实数． ②当x满足 即x≠－3且x≠5时，是虚数． ③当x满足 即x＝－2或x＝3时，是纯虚数． 逐点清(三)　两个复数相等 [多维度理解] 若两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的实部与虚部分别相等，则称这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0. 微点助解 (1)应用复数相等的充要条件时要注意：应先将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再应用复数相等的充要条件列方程组求解． (2)a＋bi＝0，a，b∈R⇔a＝0，b＝0. [细微点练明] 1．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 024i＝2－bi，则a2＋bi等于(　 ) A．2 024＋2i B．2 024＋4i C．2＋2 024i D．4－2 024i 解析：选D　因为a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a＝2，b＝－2 024.所以a2＋bi＝4－2 024i. 2．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　 ) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 解析：选B　由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i. 3．方程(2x2－3x－2)＋(