2.3 第3课时 简单的三角恒等变换的应用（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第 3 课时　简单的三角恒等变换的应用(深化课—题型研究式教学) 题型(一)　利用辅助角公式研究三角函数性质 (1)辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)可以由两角和的正弦公式推导． (2)辅助角公式中tan φ＝，且辅助角φ的终边经过点(a，b)，一般地，辅助角φ的范围是[0,2π)． (3)辅助角公式能够把形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(ab≠0)的函数，都可以化为asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋φ)的形式． [典例1]　若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<. (1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的形式； (2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值． [解]　(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2＝2sin. (2)因为0≤x<， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．所以当x＝时，f(x)有最大值2. [方法技巧] (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提． (2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．　　 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π. (1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程； (2)若f(α)＝，求sin的值． 解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝·sin(2ωx＋φ).由题意知f(x)的最小正周期为π，由＝π，知ω＝1.由f(x)的最大值为2，得 ＝2， 又a＞0，∴a＝1.∴f(x)＝2sin. 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)． (2)由f(α)＝，知2sin＝， 即sin＝，∴sin ＝sin＝－cos＝－1＋2sin2＝－1＋2×2＝－. 题型(二)　三角恒等变换与解三角形相结合 [典例2]　(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． [解]　(1)由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2， 故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， 得－＝1， 化简得－＝1. ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴－2cos Asin B＝sin B． ∵B∈(0，π)， ∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)， ∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1， 故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×＝. [针对训练] 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选C　因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝，故选C. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin(A－C)＝sin B， 所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A．由sin2A＋cos2A＝1， 得sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝， 所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝， 由正弦定理＝， 得AC＝＝＝2， 故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6. 题型(三)　三角恒等变换的实际应用问题 [典例3]　如图，某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积． [解]　如图，连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1. 因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD