2.3 第2课时 和差化积与积化和差公式（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第 2 课时　和差化积与积化和差公式(强基课—梯度进阶式教学) 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明和差化积与积化和差公式的过程． 2．会用和差化积与积化和差公式解决简单的化简、求值． 1．三角函数的和差化积 (1)sin α＋sin β＝2sincos； (2)sin α－sin β＝2cossin； (3)cos α＋cos β＝2coscos； (4)cos α－cos β＝－2sinsin. 2．三角函数的积化和差 (1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (2)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； (3)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． [基点训练] 1．把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为(　 ) A．sin 18°－sin 2°　　　　 B．sin 18°＋cos 2° C．sin 18°＋sin 2° D．cos 18°＋cos 2° 解析：选C　2sin 10°cos 8°＝sin(10°＋8°)＋sin(10°－8°)＝sin 18°＋sin 2°. 2．把sin 15°＋sin 5°化成积的形式为(　 ) A．sin 5°sin 15° B．2cos 10°cos 5° C．2sin 10°sin 5° D．2sin 10°cos 5° 解析：选D　sin 15°＋sin 5°＝2sincos＝2sin 10°cos 5°. 题型(一)　和差化积公式的应用 [典例1]　(1)cos 20°－cos 50°＝(　 ) A．cos 35°cos 15° B．sin 35°sin 15° C．2sin 15°sin 35° D．2sin 15°cos 35° (2)sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为(　 ) A．0 B． C. D．1 (3)计算：＝(　 ) A. B．－ C. D．－ (4)cos＋cos＋cos＝________. [解析]　(1)cos 20°－cos 50°＝cos(35°－15°)－cos(35°＋15°)＝2sin 15°sin 35°.故选C. (2)sin 20°＋sin 40°－sin 80° ＝2sincos－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°－sin 80° ＝2×cos 10°－sin(90°－10°) ＝cos 10°－cos 10°＝0. (3)原式＝＝－ ＝－＝－.故选D. (4)原式＝ ＝ ＝＝＝＝. [答案]　(1)C　(2)A　(3)D　(4) [方法技巧] 在运用和差化积公式时，如果形式为混合函数和时，化得的结果应为sin α与sin β的和或差；或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差．　　 [针对训练] 1．利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin 15°＋sin 105°； (2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°. 解：(1)sin 15°＋sin 105°＝2sincos＝2sin 60°cos(－45°)＝2××＝. (2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝(cos 40°＋cos 80°)＋－cos 20°＝2cos 60°cos 20°＋－cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝. 题型(二)　积化和差公式的应用 [典例2]　求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. [解]　(1)sin 37.5°cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝. [方法技巧] 在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．　　 [针对训练] 2．求下列各式的值． (1)2cos 50°cos 70°－cos 20°； (2)sin 80°cos 40°－sin 40°； (3)sin 37.5°sin 22.5°－cos 15°. 解：(1)2cos 50°cos 70°－cos 20° ＝cos(50°＋70°)＋cos(