2.1.3 两角和与差的正切公式（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.1.3　两角和与差的正切公式(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 微点助解 (1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2)符号规律：分子同，分母反． (3)T(α±β)可变形为如下形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan αtan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②. [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正切公式对tan是适用的．(　 ) (2)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1＋tan α·tan β)．(　 ) (3)1＋tan α·tan β＝.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　 ) A. B．－ C．3 D．－3 解析：选A　原式＝＝＝. 3．已知tan α＝2，则tan＝________. 解析：tan＝＝＝－3. 答案：－3 4.＝________. 解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝. 答案： 题型(一)　两角和与差正切公式的简单应用 [典例1]　(1)若tan＝，则tan α＝_______；　 (2)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.　 [解析]　(1)法一：∵tan ＝＝＝， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝. 法二：tan α＝tan ＝＝＝. (2)∵tan α＝，tan β＝， ∴tan(α＋β)＝＝＝1. ∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)．∴α＋β＝. [答案]　(1)　(2) [方法技巧] 利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　　 [针对训练] 1．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为______． 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3. 答案：3 2．已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π.求α＋β的值． 解：把tan α＝2，tan β＝－代入， 得tan(α＋β)＝＝＝1. 因为0<α<，<β<π. 所以<α＋β<.所以α＋β＝. 题型(二)　两角和与差正切公式的逆用 [典例2]　计算：＝(　 ) A．－ 　　　　　　 B． C．－ 　　　　　　 D． 　　　　　 [解析]　原式＝＝＝＝－＝－＝－.故选A. [答案]　A 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan＝1，tan＝，tan＝等．要特别注意tan＝，tan＝.　　[方法技巧] [针对训练] 3．化简求值：. 解：原式＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 题型(三)　两角和与差正切公式的变形用 [典例3]　(1)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________． (2)＝________. [解析]　(1)∵tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°. ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. (2)∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. [答案]　(1)　(2)－1 [方法技巧] 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．　　 [针对训练] 4.tan 87°tan 33°－tan 87°－tan 33°＝(　 ) A. B．－ C.