1.7 平面向量的应用举例（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.7　平面向量的应用举例(深化课—题型研究式教学) 1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法．　2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法． 题型(一)　向量在平面几何证明中的应用 [典例1]　如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE. [证明]　法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. [方法技巧] 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直． (2)常用的两个方法 ①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明； ②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明．　　 [针对训练] 1.如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. 证明：∵⊥，⊥，∴∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ.同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF. 题型(二)　利用平面向量求几何中的长度问题 [典例2]　已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为AB的中点，求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． [解]　(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n,0)． ∵D为AB的中点， ∴D.∴||＝ . ∵||＝， ∴||＝||，即CD＝AB. (2)∵E为CD的中点，∴E. 设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)． ∵A，E，F三点共线，∴设＝λ. 即(x，－m)＝λ，则 解得λ＝，x＝.∴F. ∴||＝ ， 即AF＝ . [方法技巧] 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝.　　 [针对训练] 2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. ∵||＝|a－b|＝ ＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝. 题型(三)　平面向量在物理中的应用 [典例3]　(1)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为60 m/s，则鹰的飞行速率为(　 ) A．20 m/s B．40 m/s C．60 m/s D．30 m/s (2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示． ①求F3的大小； ②求F2与F3的夹角． [解析]　(1)如图，＝v1表示鹰在地面上的影子的速度，＝v2表示鹰的飞行速度，由题意知，||＝|v1|＝60 m/s，且A＝30°，所以||＝|v2|＝＝40 m/s.故选B. [答案]　B (2)①由题意|F3|＝|F1＋F2|， 因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝. ②设F2与F3的夹角为θ， 因为F1＝－(F2＋F3)，两边平方得 1＝4＋3＋2×2×cos θ，所以cos θ＝－. 所以θ＝π. [方法技巧]　向量方法解决物理问题的步骤 [针对训练] 3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感受到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感受到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向． 解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感受到风速为－a，设实际风速为ν，那么此时人感受到的风速为ν－a， 设＝－a，＝－2a，＝ν，因为＋＝， 所以＝ν－a，这就是感受到由正北方向吹来的风速． 因为＋＝，所以＝ν－2a. 于是当此人的速度是原来的2倍时，感受到由东北方向吹来的风速就是. 由题意∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三