1.6.3 解三角形应用举例（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.6.3　解三角形应用举例(深化课—题型研究式教学) 能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题． 题型(一)　测量距离问题 [典例1]　如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)(　 ) A．39米 B．43米 C．49米 D．53米 [解析]　在△ACB中，AB＝60，BC＝60，∠ABC＝60°，所以AC＝60.在△CDA中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos 60°＝602＋402－2×60×40×＝2 800，所以AD＝20≈53(米)． [答案]　D [方法技巧] 距离问题的类型及解法 (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．　　 [针对训练] 1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m. (用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 解析：过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D(图略)，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46，则AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60(m)． 答案：60 2．A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km. 解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39.所以AB＝. 答案： 题型(二)　测量高度问题 [典例2]　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气 象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) [解]　设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m. 在△ABC中，根据余弦定理得(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠AHC＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得＝， 得CH＝AC·＝140(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. [方法技巧] 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解． 在解题中，要综合运用几何知识与方程思想．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 [针对训练] 3.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，求塔高． 解：设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，则易得AB＝，BD＝AB·tan 30°＝·tan 30°＝×＝(m)，所以CD＝BC－BD＝200－＝(m)． 题型(三)　测量角度问题 [典例3]　已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ [解]　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意， ∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得 sin∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝38°. 又∠BAD＝38°，所以BC∥AD. 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船． [方法技巧] (1)测量角度与追及问题主要是指在海上