1.6.2 正弦定理（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

　1.6.2　正弦定理(强基课—梯度进阶式教学) 　 　 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理的内容及公式变形． 2．能利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理 (1)语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． (2)公式表达：＝＝. (3)正弦定理的推广 设R为△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R. 2．正弦定理的变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(边化角)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(角化边)． (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C(边角互化)． (4)＝＝＝. 微点助解 (1)如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表： A> A＝ A< a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 (2)在△ABC中，sin A>sin B⇔a>b. (3)记牢15°，75°的正弦值： sin 15°＝，sin 75°＝. [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形．(　 ) (2)在△ABC中，若c2＞a2＋b2，则△ABC为钝角三角形．(　 ) (3)在△ABC中，若已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的类型问题，则求解时都只有一个解．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．在△ABC中，A＝60°，BC＝，则△ABC外接圆的半径为(　 ) A. B．1 C．2 D．3 解析：选B　设R为△ABC外接圆的半径，则由正弦定理，得2R＝＝＝2，解得R＝1.所以△ABC外接圆的半径为1. 3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________． 解析：AC边上的高为ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝. 答案： 4．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝________. 解析：在△ABC中，利用正弦定理得2sin Asin B＝sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝.又A为锐角，∴A＝. 答案： 题型(一)　已知两角及任意一边解三角形 [典例1]　(1)在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝(　 ) A．2　 B．3　　 C．2　 D．3 (2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝________. [解析]　(1)由正弦定理＝，得＝，解得b＝3. (2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由正弦定理＝，得b＝＝＝4. [答案]　(1)B　(2)4 [方法技巧] 已知两角和任意一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．　　 [针对训练] 1．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对边长是(　 ) A．4 B．12 C．4 D．12 解析：选D　若设120°角所对的边长为x，则由正弦定理可得＝，于是x＝＝＝12，故选D. 2．在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为(　 ) A．5 B．4 C．5 D．4 解析：选C　根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理＝，得b＝＝＝5. 题型(二)　已知两边和其中一边的对角解三角形 [典例2]　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)b＝5，c＝5，C＝60°； (3)a＝2，b＝6，A＝30°. [解]　(1)∵b＝20，A＝80°，∴bsin A＝20sin 80°＞20sin 60°＝10.又a＝10，∴a＜bsin A．∴此三角形无解． (2)∵b＝5，c＝5，∴b＜c.又C＝60°＜90°，∴此三角形有解．∵sin B＝＝＝，∴B＝30°.∴A＝180°－(B＋C)＝90°.∴a＝＝10.∴A＝90°，B＝30°，a＝10. (3)∵a＝2，b＝6，A＝30°＜90°，∴bsin A＝6sin 30°＝3.∴bsin A＜a＜b.∴此三角形有两解．∵sin B＝＝＝，∴B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2. [方法技巧] 已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 (1)用正弦定理求