1.6.1 余弦定理（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.6.1　余弦定理(强基课—梯度进阶式教学) 1.通过向量的运算探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 2．能利用余弦定理解决简单的实际问题． 1．解三角形 三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素(其中至少包括一条边)就可以求出其余三个未知元素．这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形． 2．余弦定理及变形 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 变形 cos A＝；cos B＝；cos C＝ 微点助解 (1)余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． (2)余弦定理的特例(勾股定理) 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． (3)△ABC的面积公式 ①S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)； ②S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A. [基点训练] 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　 ) A. B．8 C．10 D．7 解析：选D　由余弦定理得 c＝ ＝＝7. 2．在△ABC中，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　 ) A．30° B．60° C．45° D．90° 解析：选B　因为a＝，b＝3，c＝2，所以由余弦定理得cos A＝＝＝.又0°<A<180°，则A＝60°.故选B. 3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 答案： 4．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则△ABC的面积为________． 解析：由面积公式得S△ABC＝absin C＝×9×2sin 150°＝. 答案： 题型(一)　已知两边及一角解三角形 [典例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3. 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°. [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．　　 [针对训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝，B＝60°，则c＝(　 ) A．1 B． C．3 D．1或3 解析：选C　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故选C. 2．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若cos B＝，c＝5，a＝3，则b＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　由cos B＝，c＝5，a＝3以及余弦定理得b＝＝＝，故选D. 3．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形. 解：根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2， 又∵cos A＝ ＝＝，0°<A<180°， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 题型(二)　已知三边(三边关系)解三角形 [典例2]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，c＝，则C＝(　 ) A．120° B．90° C．60° D．45° (2)在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　 ) A．45° B．60° C．75°