1.5.1 第1课时 向量的数量积（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.5.1　数量积的定义及计算 第 1 课时　向量的数量积(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 逐点清(一)　数量积的背景及定义 [多维度理解] 1．数量积的定义 (1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． (2)〈a，b〉＝α的取值范围为[0，π]． 2．相关概念 (1)当a，b均不为0时，a·b＝0⇔cos α＝0⇔α＝⇔a⊥b(α＝〈a，b〉)． (2)当a＝0或b＝0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b.因此，a·b＝0⇔a⊥b对所有情形均成立． 微点助解 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数． (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定． [细微点练明] 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B　由平面向量数量积的定义可得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3. 2．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　 ) A. B． C．1＋ D．2 解析：选B　由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 60°＝1＋＝，故选B. 3．已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(　 ) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：选D　在等边三角形ABC中，有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝－.故选D. 4．已知|a|＝2，|b|＝5，若①a∥b，②a⊥b，分别求a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. 逐点清(二)　投影 [多维度理解] 1．投影向量及投影长 如图，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线． 我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos α|称为投影长． 2．投影的几何意义 (1)一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积． (2)b在a方向上的投影|b|cos α的公式：|b|cos α＝. [细微点练明] 1．已知|a|＝1，|b|＝2，其中a，b的夹角为，则a在b上的投影长为(　 ) A．1 B． C. D． 解析：选D　由题意，a在b上的投影长为|a|＝1×＝. 2．已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且|b|＝2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b＝(　 ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：选C　a·b＝|b|·|a|cos〈a，b〉＝|b|·|2e|＝2×2＝4.故选C. 3．已知O为正三角形ABC的中心，则向量在向量上的投影向量为(　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选C　取AB中点D，连接OD，因为O为正三角形ABC的中心，所以OD⊥AB，则向量在向量上的投影向量为＝－，故选C. 4．已知|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角θ为60°，则b在a方向上的投影长为________． 解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ为60°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 60°＝1， ∴b在a方向上的投影长为＝1. 答案：1 5．已知|a|＝2，a与b的夹角为，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为________． 解析：a在b方向上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·e＝2cos·e＝－e. 答案：－e 逐点清(三)　数量积的运算律 [多维度理解] 1．平面向量数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·bb·a； (2)与数乘的结合律：a·(λb)＝λ(a·b)； (3)关于加法的分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c