1.3 第2课时 向量数乘的应用（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第 2 课时　向量数乘的应用(深化课—题型研究式教学) 题型(一)　用已知向量表示其他向量 [典例1]　如图，点E，D分别是△ABC中AC(靠近C)，BC(靠近B)边上的三等分点，已知＝a，＝b，求： (1)用a与b表示； (2)用a与b表示. [解]　(1)∵E为AC边上的三等分点， ∴＝.又∵＝＋， ＝a，＝b，∴＝a＋b. (2)∵D为BC边上的三等分点，∴＝. ∴＝－＝－＝(＋)－＝－. 又∵＝a，＝b，∴＝a－b. [方法技巧] 用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中． (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　　 [针对训练] 1.如图，在△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则＝(　 ) A．－－ B．－－ C．－－ D．－＋ 解析：选B　∵点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点， ∴＝－＝－＝－(＋)＝－－. 2．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，求r－s的值． 解：因为＝＋＝4，所以＝3，所以＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－，所以r＝，s＝－，r－s＝. 题型(二)　向量共线的判定 [典例2]　已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－3a＋4b，＝a－3b，则一定共线的三点是(　 ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D [解析]　∵＝a＋2b，＝－3a＋4b，＝a－3b，∴＝＋＋＝－a＋3b. ∴＝＋＝－2a＋6b＝2. 又与有公共点A，∴A，C，D三点共线． [答案]　D [方法技巧] 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．具体依据如下： 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．　　 [针对训练] 3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　 ) A．P，A，C三点共线 B．P，A，B三点共线 C．P，B，C三点共线 D．以上均不正确 解析：选A　在△ABC中，取AC的中点D(图略)，则＋＝2，∴2＝2.∴D和P重合．∴P，A，C三点共线． 4．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　 ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 解析：选C　∵＝＋＋＝－8a－2b， ∴＝2，即AD∥BC.∵AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形． 题型(三)　向量共线中的参数问题 [典例3]　(1)设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值； (2)设e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问：是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？ [解]　(1)若A，B，D三点共线，则与共线．设＝λ(λ∈R)，∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2. 由e1与e2不共线可得解得λ＝2，k＝－8. (2)d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2. 所以解得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ. [方法技巧] 1．证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．　　 [针对训练] 5．已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　 ) A．10 B．－10 C．2 D．－2 解析：选C　∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ＝λ(－)，∴a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)， ∴(1－λ)a＋(2λ－k)b＝0，∴ 解得故选C. 6．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________. 解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以存在实数λ(λ＜0)，使得ka＋2b＝λ(8a＋kb)． 又a，b是两个不共线的非零向量， 所以解得或(舍去)． 答案：－4 学科网（北京）股份有限公司 $$