13.2.1 平面的基本性质（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

13．2.1　平面的基本性质(强基课—梯度进阶式教学) 1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2．了解基本事实1～3和确定平面的推论，掌握平面的画法及表示方法． (一)平面 1．平面的概念 (1)平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念，平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念． (2)几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的． 2．平面的画法 (1)平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图． (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来． 3．平面的表示 (1)通常用希腊字母α，β，γ，…表示，如平面α，平面β等． (2)用平行四边形的四个顶点表示平面，如平面ABCD. (3)用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC. [基点训练] 1．下列说法正确的是(　 ) A．镜面是一个平面 B．一个平面长10 m，宽5 m C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D．所有的平面都是无限延展的 答案：D 2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　 ) A．平面MN 　　　 B．平面NQP C．平面α 　　　 D．平面MNPQ 答案：A (二)平面的基本性质及作用 1．三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒AB⊂α 用来证明直线在平面内　 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ⇒α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 2．三个推论 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 [基点训练] 1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为(　 ) A．P∈a，a∥α B．a∩α＝P C．P∈a，P∉α D．P∈a，a⊂α 解析：选C　由于点P在平面α外，所以有P∉α.又直线a经过点P，所以P∈a.故选C. 2．下列图形中，不一定是平面图形的是(　 ) A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．四条边相等的四边形 解析：选D　三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形． 3．过不共线的四点有且只有一个平面对吗，为什么？ 提示：不对，过不共线的四点不一定存在一个平面，如过正方体上底面的三个顶点和下底面的一个顶点，便无法作出一个平面． 题型(一)　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 [典例1]　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． [解]　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图． (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图． [方法技巧] 三种语言转换的注意点 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．　　 2要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 3根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. [针对训练] 1.如图所示，用符号语言可表达为(　 ) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 解析：选A　如题图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A. 2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以用集合语言和符号表示为(　 ) A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈α C．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α 解析：选B　A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α. 题型(二)　点、线共面问题 [典例2]