11.1 第1课时 余弦定理（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

　 11.1　余弦定理 　　　　　　 　第 1 课时　余弦定理(强基课—梯度进阶式教学) 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 1．余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 2.解三角形的定义 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 微点助解 1．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2．余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． 3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． [基点训练] 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　 ) A. B．8 C．10 D．7 解析：选D　由余弦定理得c＝＝＝7. 2．在△ABC中，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　 ) A．30° B．60° C．45° D．90° 解析：选B　因为a＝，b＝3，c＝2，所以由余弦定理得cos A＝＝＝.又0°<A<180°，则A＝60°.故选B. 3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 答案： 题型(一)　已知两边和一角解三角形 [典例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3. 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°. [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．　　 (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． [针对训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝，B＝60°，则c＝(　 ) A．1 B． C．3 D．1或3 解析：选C　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故选C. 2．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若cos B＝，c＝5，a＝3，则b＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　由cos B＝，c＝5，a＝3以及余弦定理得b＝＝＝，故选D. 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [典例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． [解]　根据余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. cos C＝＝＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝，∴A＝，B＝，C＝. [方法技巧] 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．　 [针对训练] 3．若△ABC的三边长分别为3,6,7，则该三角形最大角的余弦值为(　 ) A．－ B． C. D． 解析：选A　因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为θ，则cos θ＝＝－，故选A. 4．若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之