9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第 2 课时　向量数量积的坐标表示(强基课—梯度进阶式教学) 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 2．掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用．　3.会利用数量积计算长度与角度． 1．向量数量积的坐标表示 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．向量的模 (1)向量模的公式：设a＝(x，y)，则|a|＝. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 3．向量的夹角公式 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝＝ 4．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [基点训练] 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　 ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 解析：选D　a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　 ) A．12 B．0 C．－3 D．－11 解析：选C　∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 3．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝. 答案： 题型(一)　平面向量数量积的坐标运算 [典例1]　(1)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. (2)已知向量a和b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求向量a的坐标； ②若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. [解析]　 (1)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2，2)，B(0,0)，C(2,0)． 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝. 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. [答案]　 (2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．∵a·b＝10，∴λ×1＋2λ×2＝5λ＝10， 解得λ＝2.∴a＝(2,4)． ②(a·c)·b＝[2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0. [方法技巧] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．　　 [针对训练] 1．已知点P(2,4)，Q(1,6)，向量＝(2，λ)，若·＝0，则实数λ的值为(　 ) A. B．－ C．2 D．1 解析：选D　由P(2,4)，Q(1,6)可得＝(－1,2)，又＝(2，λ)，所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D. 2．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝(　 ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选B　建立如图所示的平面直角坐标系，因为矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，所以A(0,0)，B(2，0)，E(2,2)，F(1,4)，则＝(2,2)，＝(－1,4)，所以·＝6. 题型(二)　平面向量的模坐标表示 [典例2]　设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．求a－2b的坐标和模的大小． [解]　∵a＝(1,1)，b＝(0,2)， ∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)． ∴|a－2b|＝＝. [变式拓展] 1．例题中的条件不变，若c＝3a－(a·b)·b，试求|c|. 解：∵a·b＝1×0＋1×2＝2，∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)．∴|c|＝＝. 2．将例题中的“b＝(0,2)”改为“b＝(0，－2)”，其他条件不变，若ka－b的模等于，试求k值． 解：∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)， ∴＝， 化简得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或k＝－3. 即当k＝1或k＝－3时满足条件． [方法技巧] 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　　 [针对训练] 3．已知梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2