9.3.2 第1课时 向量线性运算的坐标表示（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.3.2　向量坐标表示与运算 第 1 课时　向量线性运算的坐标表示 (概念课—逐点理清式教学) 1.借助于平面直角坐标系，理解向量坐标的概念，会求点的坐标． 2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则． 3．会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算． 逐点清(一)　向量坐标表示 [多维度理解] 1．向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x, y)，使得a＝xi＋yj. 我们把有序实数对(x, y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x,_y)． 2．起点为原点的向量坐标与其终点坐标的关系 如图，作＝a，即有＝xi＋yj，则的坐标(x, y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,_y)就是向量的坐标． [细微点练明] 1.如图所示，为单位正交基底，则向量a，b的坐标分别是(　 ) A．(3,4)，(2，－2) B．(2,3)，(－2，－3) C．(2,3)，(2，－2) D．(3,4)，(－2，－3) 解析：选C　根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2.∴a＝(2,3)，b＝(2，－2)． 2．已知D是△ABC所在平面内一点，＝3，设＝e1，＝e2，则在基底下的坐标为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　因为＝3，所以＝＝(－)．所以＝＋＝＋(－)＝－＋＝－e1＋e2.因此向量在基底下的坐标为. 3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　 ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　x2＋x＋1＝2＋>0，x2－x＋1＝2＋>0，因此a对应的坐标满足x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0.所以向量a对应的坐标位于第四象限． 4．已知O为坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝120°，则向量的坐标为________． 解析：如图，由∠xOA＝120°可得∠yOA＝30°.因为||＝2， 所以A(－1，)． 故＝(－1，)． 答案：(－1，) 逐点清(二)　向量线性运算的坐标表示 [多维度理解] 文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 向量的坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 微点助解 (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． (2)当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标． (3)由向量坐标的定义知，相同的向量的坐标一定相同，但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同．也就是说，两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔ [细微点练明] 1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　 ) A．(2,1) B．(－2,1) C．(1,2) D．(－1,2) 解析：选D　a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(－1,2)． 2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　由a－2b＋3c＝0，可得c＝－a＋b＝－(5，－2)＋(－4，－3)＝. 3．在平面直角坐标系中，已知P1(－1,1)，P2(1,3)，点P满足＝－3，则点P的坐标为________． 解析：设点P的坐标为(x，y)， 因为P1(－1,1)，P2(1,3)， 所以＝(x＋1，y－1)，＝(1－x,3－y)． 因为＝－3， 所以解得 所以点P的坐标为(2,4)． 答案：(2,4) 4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且C＝3c，C＝－2b. (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)求M，N的坐标及向量的坐标． 解：(1)由题意得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)，所以mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)． 因为a＝mb＋nc， 所以解得 (2)