9.2.3 第1课时 向量的数量积（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.2.3　向量的数量积 第 1 课时　向量的数量积(概念课—逐点理清式教学) 　　　　　 1.通过物理中功等实例，理解向量数量积的概念及意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．掌握平面向量数量积运算律及运算性质，并能解一些简单问题． 逐点清(一)　向量的数量积 　　　　　　　　　　　　　　　　[多维度理解] 1．向量的数量积 定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 2．向量的夹角、垂直及模 (1)两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ＝. (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)． (3)a·a＝|a|2或|a|＝. 微点助解 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数． (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定． [细微点练明] 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：选B　由平面向量数量积的定义可得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3. 2．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b夹角的大小为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　因为|a|＝3，|b|＝2, a·b＝－3，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°. 3．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　 ) A. B. C．1＋ D．2 解析：选B　由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 60°＝1＋＝，故选B. 　　　　　　　　　　　　　　　 4．已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(　 ) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：选D　在等边三角形ABC中，有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝－.故选D. 5．已知向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　 ) A．1 B. C．2 D. 解析：选A　|a＋2b|＝＝＝＝1. 逐点清(二)　投影向量 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维度理解] 1．投影向量的定义 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量．设向量a，b的夹角为θ，则＝ 2．向量数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 微点助解 (1)a·b等于向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，也等于向量b在向量a上的投影向量与向量a的数量积，其中a在b上的投影向量与b在a上的投影向量是不同的． (2)b在a方向上的投影向量的模为||b|·cos θ|(θ是a与b的夹角)，也可以写成. (3)在确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”． [细微点练明] 1．已知|a|＝1，|b|＝2，其中a，b的夹角为，则a在b上的投影向量的模为(　 ) A．1 B. C. D. 解析：选D　由题意，a在b上的投影向量的模为|a|cos＝1×＝. 2．已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且|b|＝2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b＝(　 ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：选C　a·b＝|b|·|a|cos〈a，b〉＝|b|·|2e|＝2×2＝4.故选C. 3．已知O为正三角形ABC的中心，则向量在向量上的投影向量为(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选C　取AB中点D，连接OD，因为O为正三角形ABC的中心，所以OD⊥AB，则向量在向量上的投影向量为＝－，故选C. 4．已知△ABC的外接圆圆心为O，且＋＝2，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选A　已知＋＝2，故点O为BC中点．又因为点O为△ABC的外接圆圆心，所以△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.由于||＝||，易知△ABO为等边三角形，如图，过点A作BC的垂线，垂足为D，设AB＝BO＝BC